Princípio Fundamental da Contagem
Se um evento pode ocorrer de m formas e, em seguida, outro pode ocorrer de n formas, o total de combinações é m · n. Vale para quantos eventos precisar.
Fatorial
n! = n · (n−1) · (n−2) · … · 1. Por convenção, 0! = 1.
Permutações
Simples: P(n) = n! — ordenar n elementos distintos.
Com repetição: P = n! / (n₁! · n₂! · ...) — divide pelas repetições de cada elemento.
Arranjos e Combinações
| Conceito | Ordem importa? | Fórmula |
|---|---|---|
| Arranjo A(n,p) | Sim | n! / (n−p)! |
| Combinação C(n,p) | Não | n! / (p! · (n−p)!) |
Dica de ouro: pergunte "trocar a ordem muda o resultado?". Se sim, é arranjo. Se não (ex.: comissão, grupo de amigos), é combinação.
Exercícios resolvidos
Passo a passo detalhado.
Exercício 1. Quantos números de 3 algarismos distintos podem ser formados com 1, 2, 3, 4 e 5?
- PFC: 5 opções para a 1ª casa, 4 para a 2ª, 3 para a 3ª.
- Total = 5 · 4 · 3 = 60.
Resposta: 60 números
Exercício 2. Quantos anagramas tem a palavra AMOR?
- 4 letras distintas → permutação simples.
- P(4) = 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24.
Resposta: 24 anagramas
Exercício 3. Quantos anagramas tem a palavra ARARA?
- 5 letras com repetições: A aparece 3 vezes e R aparece 2 vezes.
- P = 5! / (3! · 2!) = 120 / (6 · 2) = 10.
Resposta: 10 anagramas
Exercício 4. Uma prova tem 10 questões. De quantas formas escolher 3 para responder?
- Ordem não importa → combinação.
- C(10, 3) = 10! / (3! · 7!) = (10 · 9 · 8)/(3 · 2 · 1) = 120.
Resposta: 120 formas
Exercício 5. Numa corrida com 8 atletas, quantos pódios (1º, 2º, 3º) diferentes?
- Ordem importa → arranjo.
- A(8, 3) = 8 · 7 · 6 = 336.
Resposta: 336 pódios
Exercício 6. Numa sala com 6 meninos e 4 meninas, quantas comissões de 3 pessoas com 2 meninos e 1 menina?
- Escolher 2 meninos: C(6,2) = 15.
- Escolher 1 menina: C(4,1) = 4.
- Total = 15 · 4 = 60.
Resposta: 60 comissões
Exercícios para praticar
Tente antes de revelar.
1. Quantos números de 2 algarismos podem ser formados com 1,2,3,4,5 (repetição permitida)?
2. Quantos anagramas de LIVRO?
3. Quantos anagramas de BANANA?
4. C(7, 2) = ?
5. A(6, 3) = ?
6. De 10 alunos, escolher 4 para uma comissão.
7. Quantas senhas de 4 dígitos distintos (0–9)?
8. Quantas senhas de 4 dígitos com repetição (0–9)?
9. Quantos anagramas de OVO começam por O?
10. Numa pizzaria com 8 sabores, quantas pizzas de 2 sabores diferentes?
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Perguntas frequentes
O que é o Princípio Fundamental da Contagem (PFC)?
Se um evento pode ocorrer de m formas e outro de n formas, então os dois juntos ocorrem de m·n formas. É a base de toda a combinatória.
Qual a diferença entre arranjo e combinação?
No arranjo a ordem importa (ex.: pódio). Na combinação a ordem não importa (ex.: comissão).
Qual a fórmula de permutação simples?
P(n) = n! (n fatorial). É o número de formas de ordenar n elementos distintos.
Como calcular anagramas com letras repetidas?
P = n! / (n₁! · n₂! · ...), onde n₁, n₂ são as quantidades de cada letra repetida.
Qual a fórmula de arranjo?
A(n, p) = n! / (n − p)!. Escolhe e ordena p elementos entre n.
Qual a fórmula de combinação?
C(n, p) = n! / (p! · (n − p)!). Escolhe p entre n, sem importar a ordem.
Quando usar arranjo x combinação?
Pergunte: 'trocar a ordem gera resultado diferente?'. Sim → arranjo. Não → combinação.
Análise combinatória cai no ENEM?
Sim, e geralmente em problemas contextualizados. Praticar o PFC resolve boa parte das questões.
🎓 Você chegou ao fim da Trilha Intermediária!
Marque como concluído e comemore o percurso completo.