O que é um sistema linear
É um conjunto de duas ou mais equações do 1º grau com as mesmas incógnitas. Resolver é encontrar valores que satisfaçam todas as equações ao mesmo tempo.
Métodos de resolução
1. Substituição: isole uma variável em uma equação e substitua na outra.
2. Adição (eliminação): some ou subtraia as equações para eliminar uma variável.
3. Escalonamento (Gauss): transforme o sistema em triangular usando operações nas linhas. Ideal para 3×3.
4. Regra de Cramer: x = Dx/D, y = Dy/D, z = Dz/D — usando determinantes. Só funciona quando D ≠ 0.
Classificação
- SPD — Possível e Determinado: uma única solução (D ≠ 0). Retas se cruzam em um ponto.
- SPI — Possível e Indeterminado: infinitas soluções. Retas coincidentes (equações proporcionais).
- SI — Impossível: nenhuma solução. Retas paralelas distintas.
Dica: antes de escolher o método, olhe o sistema. Se uma variável já está isolada, use substituição. Se os coeficientes casam para cancelamento, use adição. Para 3×3, escalone.
Exercícios resolvidos
Passo a passo detalhado.
Exercício 1. Resolva por substituição: x + y = 10 e x − y = 4.
- Da 1ª equação: x = 10 − y.
- Substitua na 2ª: (10 − y) − y = 4 → 10 − 2y = 4 → y = 3.
- Volte: x = 10 − 3 = 7.
Resposta: x = 7, y = 3
Exercício 2. Resolva por adição: 2x + y = 8 e x − y = 1.
- Some as duas equações: 3x = 9 → x = 3.
- Substitua em x − y = 1: 3 − y = 1 → y = 2.
Resposta: x = 3, y = 2
Exercício 3. Classifique o sistema: 2x + 4y = 10 e x + 2y = 5.
- A 2ª equação é a 1ª dividida por 2 (mesma reta).
- O sistema tem infinitas soluções.
Resposta: Possível e indeterminado (SPI)
Exercício 4. Classifique: x + y = 3 e x + y = 7.
- Duas retas paralelas, sem intersecção.
- Não existe (x, y) que satisfaça as duas.
Resposta: Impossível (SI)
Exercício 5. Resolva pela Regra de Cramer: 2x + 3y = 8 e x − y = 1.
- D = |2 3; 1 −1| = 2·(−1) − 3·1 = −5.
- Dx = |8 3; 1 −1| = 8·(−1) − 3·1 = −11 → x = −11/−5 = 11/5 = 2,2.
- Dy = |2 8; 1 1| = 2·1 − 8·1 = −6 → y = −6/−5 = 6/5 = 1,2.
Resposta: x = 2,2; y = 1,2
Exercício 6. Resolva o sistema 3×3 por escalonamento: x+y+z = 6, x−y+z = 2, x+y−z = 0.
- L2 − L1: −2y = −4 → y = 2.
- L3 − L1: −2z = −6 → z = 3.
- Volte em L1: x + 2 + 3 = 6 → x = 1.
Resposta: x = 1, y = 2, z = 3
Exercícios para praticar
Tente antes de revelar.
1. x + y = 12 e x − y = 2.
2. 2x + y = 7 e x + y = 4.
3. 3x − 2y = 5 e x + y = 5.
4. x + 2y = 9 e 2x − y = 3.
5. Classifique: 2x + 4y = 8 e x + 2y = 4.
6. Classifique: x − y = 2 e 2x − 2y = 10.
7. Pela regra de Cramer, calcule D em: x + 2y = 5 e 3x − y = 1.
8. 5x + 2y = 16 e 3x − y = 4.
9. x + y + z = 6, x + y = 5, y + z = 5.
10. A soma de dois números é 30 e a diferença é 6. Quais são?
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Perguntas frequentes
O que é um sistema linear?
É um conjunto de equações do 1º grau com duas ou mais incógnitas que devem ser satisfeitas simultaneamente.
Quais métodos existem para resolver?
Substituição, adição (eliminação), escalonamento (Gauss) e Regra de Cramer (usando determinantes).
Como classificar um sistema linear?
SPD (solução única, D ≠ 0), SPI (infinitas soluções, retas coincidentes) e SI (sem solução, retas paralelas).
O que é a Regra de Cramer?
Método que usa determinantes: x = Dx/D, y = Dy/D, desde que D ≠ 0. Só serve para sistemas possíveis e determinados.
Quando usar substituição x adição?
Substituição é boa quando uma variável já está isolada. Adição é boa quando dá para cancelar uma variável somando/subtraindo as equações.
O que é escalonamento?
Transformar o sistema em forma triangular por operações elementares nas linhas, resolvendo de baixo para cima.
Sistemas 3×3 caem no ENEM?
Sim, geralmente em problemas contextualizados. O método de escalonamento costuma ser o mais direto.
Como interpretar geometricamente?
Cada equação do sistema 2×2 é uma reta. A solução é a intersecção: um ponto (SPD), a própria reta (SPI) ou nada (SI).
Finalizou o Módulo 11?
Marque como concluído e siga adiante.