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    Módulo 10 de 12

    Matrizes e Determinantes

    Operações com matrizes e cálculo de determinantes. Vamos entender o que são matrizes, como operar com elas e como calcular determinantes.

    O que é uma matriz

    Uma matriz é uma tabela retangular de números com m linhas e n colunas, chamada de matriz m×n. Cada número é um elemento identificado por sua posição (linha, coluna): aij.

    A = [[a₁₁, a₁₂], [a₂₁, a₂₂]]

    Tipos importantes

    • Quadrada: mesmo número de linhas e colunas (n×n).
    • Identidade (I): 1 na diagonal, 0 nas demais. Neutro da multiplicação.
    • Nula: todos os elementos são zero.
    • Transposta (Aᵀ): troca linhas por colunas.
    • Diagonal: só a diagonal principal tem valores diferentes de zero.

    Operações com matrizes

    Soma / subtração: elemento por elemento. Só entre matrizes de mesma ordem.

    Multiplicação por escalar: multiplique cada elemento pelo número.

    Multiplicação matriz × matriz: A(m×n) · B(n×p) = C(m×p). Cada elemento cijé a soma dos produtos da linha i de A pela coluna j de B.

    Determinantes

    O determinante é um número associado a toda matriz quadrada.

    Matriz 2×2: det = a·d − b·c

    Para matrizes 3×3 usamos a Regra de Sarrus: repita as duas primeiras colunas ao lado da matriz, some os produtos das diagonais principais e subtraia os produtos das diagonais secundárias.

    Propriedades úteis

    • det de matriz com linha ou coluna zerada = 0.
    • det de matriz triangular = produto da diagonal principal.
    • det(Aᵀ) = det(A).
    • det(A·B) = det(A) · det(B).
    • Se det(A) = 0, a matriz não tem inversa.

    Dica: na multiplicação de matrizes, sempre verifique a compatibilidade das ordens antes de começar. Se as ordens não "encaixarem", a operação não existe.

    Exercícios resolvidos

    Passo a passo detalhado.

    Exercício 1. Some as matrizes A = [[1,2],[3,4]] e B = [[5,6],[7,8]].

    1. Some elemento por elemento (mesma posição).
    2. A + B = [[1+5, 2+6],[3+7, 4+8]] = [[6, 8],[10, 12]].

    Resposta: [[6, 8], [10, 12]]

    Exercício 2. Multiplique a matriz A = [[1,2],[3,4]] por 3.

    1. Multiplique cada elemento por 3.
    2. 3·A = [[3, 6], [9, 12]].

    Resposta: [[3, 6], [9, 12]]

    Exercício 3. Calcule o determinante de A = [[3, 4], [2, 5]].

    1. Para matriz 2×2: det = ad − bc.
    2. det(A) = 3·5 − 4·2 = 15 − 8 = 7.

    Resposta: 7

    Exercício 4. Multiplique A = [[1, 2], [3, 4]] por B = [[2, 0], [1, 2]].

    1. Linha × coluna: c11 = 1·2 + 2·1 = 4; c12 = 1·0 + 2·2 = 4;
    2. c21 = 3·2 + 4·1 = 10; c22 = 3·0 + 4·2 = 8.
    3. A · B = [[4, 4], [10, 8]].

    Resposta: [[4, 4], [10, 8]]

    Exercício 5. Calcule o determinante 3×3 de A = [[1,2,3],[0,1,4],[5,6,0]] usando Sarrus.

    1. Sarrus: soma dos produtos das diagonais principais menos secundárias.
    2. Principais: 1·1·0 + 2·4·5 + 3·0·6 = 0 + 40 + 0 = 40.
    3. Secundárias: 3·1·5 + 1·4·6 + 2·0·0 = 15 + 24 + 0 = 39.
    4. det = 40 − 39 = 1.

    Resposta: 1

    Exercício 6. Ache a transposta de A = [[1, 2, 3], [4, 5, 6]].

    1. Troque linhas por colunas.
    2. Aᵀ = [[1, 4], [2, 5], [3, 6]].

    Resposta: [[1, 4], [2, 5], [3, 6]]

    Exercícios para praticar

    Tente antes de revelar.

    1. Some [[2,1],[0,3]] + [[4,5],[1,2]].

    2. Multiplique [[1,2],[3,4]] por escalar 5.

    3. det de [[2, 3], [4, 5]].

    4. det de [[6, 1], [2, 4]].

    5. Transposta de [[7, 8], [9, 10]].

    6. A matriz identidade 3×3 é...

    7. det de matriz com uma linha zerada.

    8. det de matriz triangular [[2,3,4],[0,5,6],[0,0,7]].

    9. Multiplique [[1,0],[0,1]] · [[3,4],[5,6]].

    10. Ordem do produto A(2×3) · B(3×4).

    Perguntas frequentes

    O que é uma matriz?

    É uma tabela retangular de números organizada em linhas e colunas. Uma matriz m×n tem m linhas e n colunas.

    Como somar matrizes?

    Some elemento por elemento das mesmas posições. As matrizes precisam ter exatamente a mesma ordem (m×n).

    Quando posso multiplicar duas matrizes?

    Quando o número de colunas da primeira é igual ao número de linhas da segunda. Ex.: A(2×3) · B(3×4) = C(2×4).

    O que é o determinante?

    É um número associado a uma matriz quadrada que indica, entre outras coisas, se ela é invertível (det ≠ 0) ou não (det = 0).

    Qual a fórmula do determinante 2×2?

    Para A = [[a, b], [c, d]], det(A) = a·d − b·c.

    O que é a regra de Sarrus?

    É um método visual para calcular o determinante de matrizes 3×3, repetindo as duas primeiras colunas e somando as diagonais principais menos as secundárias.

    O que é a matriz identidade?

    É a matriz quadrada com 1s na diagonal principal e 0s nas demais posições. É o elemento neutro da multiplicação de matrizes.

    A multiplicação de matrizes é comutativa?

    Não. Em geral A·B ≠ B·A. Essa é uma diferença importante em relação à multiplicação de números.

    Finalizou o Módulo 10?

    Marque como concluído e siga adiante.

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    Exercícios ENEM resolvidos

    Exercício 1 (ENEM 2018): Dadas as matrizes A = [[2, 3], [1, 4]] e B = [[1, 0], [2, 5]], calcule a matriz produto A × B.

    Passo a passo:

    Regra: elemento (i,j) de A×B = soma dos produtos da linha i de A pela coluna j de B.

    Passo 1 — Elemento (1,1): linha 1 de A × col 1 de B:

    2·1 + 3·2 = 2 + 6 = 8

    Passo 2 — Elemento (1,2): linha 1 de A × col 2 de B:

    2·0 + 3·5 = 0 + 15 = 15

    Passo 3 — Elemento (2,1): linha 2 de A × col 1 de B:

    1·1 + 4·2 = 1 + 8 = 9

    Passo 4 — Elemento (2,2): linha 2 de A × col 2 de B:

    1·0 + 4·5 = 0 + 20 = 20

    A × B = [[8, 15], [9, 20]]

    Resposta: A × B = [[8, 15], [9, 20]].

    Exercício 2 (ENEM 2020): Calcule o determinante da matriz 3×3: M = [[2, 1, 3], [0, 4, −1], [5, 2, 6]] usando a Regra de Sarrus.

    Passo a passo (Regra de Sarrus):

    M = | 2 1 3 |

    | 0 4 −1 |

    | 5 2 6 |

    Passo 1 — Diagonais principais (+):

    d1 = 2·4·6 = 48

    d2 = 1·(−1)·5 = −5

    d3 = 3·0·2 = 0

    Soma (+) = 48 + (−5) + 0 = 43

    Passo 2 — Diagonais secundárias (−):

    s1 = 5·4·3 = 60

    s2 = 2·(−1)·2 = −4

    s3 = 6·0·1 = 0

    Soma (−) = 60 + (−4) + 0 = 56

    Passo 3 — det(M) = 43 − 56 = −13

    Resposta: det(M) = −13.

    Exercício 3 (ENEM 2022): Use a Regra de Cramer para resolver o sistema: 3x + 2y = 8 e x − y = 1.

    Passo a passo:

    Passo 1 — Matriz dos coeficientes D:

    D = | 3 2 | = 3·(−1) − 2·1 = −3 − 2 = −5

    | 1 −1 |

    Passo 2 — Matriz Dx (substituir coluna x pelos termos independentes):

    Dx = | 8 2 | = 8·(−1) − 2·1 = −8 − 2 = −10

    | 1 −1 |

    Passo 3 — Matriz Dy:

    Dy = | 3 8 | = 3·1 − 8·1 = 3 − 8 = −5

    | 1 1 |

    Passo 4 — Cramer:

    x = Dx/D = −10/(−5) = 2

    y = Dy/D = −5/(−5) = 1

    Verificação: 3·2+2·1=8 ✓ | 2−1=1 ✓

    Resposta: x = 2 e y = 1.