O que é uma equação do 2º grau?
É toda equação que pode ser escrita na forma:
Os números a, b e c são os coeficientes, e x é a incógnita. O expoente máximo de x é 2 — por isso ela se chama "do 2º grau".
A fórmula de Bhaskara
A fórmula resolve qualquer equação do 2º grau:
O símbolo ± indica que normalmente teremos duas respostas: uma com soma e outra com subtração.
O discriminante (Δ)
O delta diz quantas raízes a equação tem antes mesmo de calcularmos:
| Δ | Quantidade de raízes | Significado gráfico |
|---|---|---|
| Δ > 0 | Duas raízes reais e diferentes | A parábola cruza o eixo x em 2 pontos |
| Δ = 0 | Uma raiz real (dupla) | A parábola toca o eixo x em 1 ponto |
| Δ < 0 | Não tem raízes reais | A parábola não toca o eixo x |
Passo a passo com Bhaskara
- Coloque a equação no formato ax² + bx + c = 0.
- Identifique a, b e c (com sinais).
- Calcule Δ = b² − 4ac.
- Se Δ < 0, pare: não há raízes reais.
- Se Δ ≥ 0, aplique x = (−b ± √Δ) / (2a).
- Calcule x₁ (com +) e x₂ (com −).
Equações incompletas
Quando b ou c valem 0, é mais rápido resolver sem Bhaskara:
- ax² + c = 0 (sem b): isole x² e tire a raiz. Ex.: x² − 25 = 0 → x² = 25 → x = ±5.
- ax² + bx = 0 (sem c): coloque x em evidência. Ex.: x² − 6x = 0 → x(x − 6) = 0 → x = 0 ou x = 6.
- ax² = 0: a única raiz é x = 0.
Soma e produto (Girard)
Quando as raízes são números "bonitos", podemos resolver "no olho" usando as relações de Girard:
Exemplo: em x² − 5x + 6 = 0, procuramos dois números que somam 5 e multiplicam 6 → 2 e 3.
Dica de ouro: antes de mergulhar no Bhaskara, olhe se a equação é incompleta ou se você consegue achar as raízes pelo soma e produto. Você economiza tempo na prova.
Aplicações no dia a dia
- Cálculo de áreas e dimensões de terrenos.
- Movimento de corpos em queda livre (Física).
- Lucro máximo e ponto de equilíbrio em negócios.
- Trajetória de projéteis, fontes e lançamentos.
- Otimização: encontrar valor máximo ou mínimo.
Erros mais comuns
- Errar o sinal de b ou c ao identificar.
- Esquecer de elevar b ao quadrado no Δ.
- Esquecer dos parênteses em (−b)² quando b é negativo.
- Calcular raiz de número negativo no Δ < 0 (não existe nos reais).
- Esquecer de dividir por 2a, não só por 2.
Exercícios resolvidos
Acompanhe o raciocínio passo a passo de 8 exercícios.
Exercício 1. Resolva x² − 5x + 6 = 0.
- Identifique: a = 1, b = −5, c = 6.
- Δ = b² − 4ac = (−5)² − 4·1·6 = 25 − 24 = 1.
- x = (−b ± √Δ) / (2a) = (5 ± 1) / 2.
- x₁ = (5 + 1)/2 = 3 e x₂ = (5 − 1)/2 = 2.
Resposta: x = 2 ou x = 3
Exercício 2. Resolva 2x² − 7x + 3 = 0.
- a = 2, b = −7, c = 3.
- Δ = 49 − 4·2·3 = 49 − 24 = 25.
- x = (7 ± 5) / 4.
- x₁ = 12/4 = 3 e x₂ = 2/4 = 0,5.
Resposta: x = 3 ou x = 1/2
Exercício 3. Resolva x² + 4x + 4 = 0.
- a = 1, b = 4, c = 4.
- Δ = 16 − 16 = 0 → raiz única (dupla).
- x = −b / (2a) = −4 / 2 = −2.
Resposta: x = −2 (raiz dupla)
Exercício 4. Resolva x² + 2x + 5 = 0.
- a = 1, b = 2, c = 5.
- Δ = 4 − 20 = −16.
- Δ < 0 → não existem raízes reais.
Resposta: Sem soluções reais
Exercício 5. Equação incompleta: x² − 9 = 0.
- Isole x²: x² = 9.
- Aplique raiz: x = ±√9 = ±3.
Resposta: x = 3 ou x = −3
Exercício 6. Equação incompleta: x² − 6x = 0.
- Fatore x: x · (x − 6) = 0.
- Pela propriedade do produto nulo: x = 0 ou x − 6 = 0.
- Logo, x = 0 ou x = 6.
Resposta: x = 0 ou x = 6
Exercício 7. Problema: a soma de um número com seu quadrado é 12. Que número é esse?
- Modele: x + x² = 12 → x² + x − 12 = 0.
- Δ = 1 + 48 = 49 → √Δ = 7.
- x = (−1 ± 7)/2 → x = 3 ou x = −4.
Resposta: x = 3 ou x = −4
Exercício 8. Um terreno retangular tem área 60 m². O comprimento é 4 m maior que a largura. Quais as dimensões?
- Seja x a largura. Comprimento = x + 4.
- Área: x · (x + 4) = 60 → x² + 4x − 60 = 0.
- Δ = 16 + 240 = 256 → √Δ = 16.
- x = (−4 ± 16)/2 → x = 6 ou x = −10. Descartamos o negativo.
- Largura = 6 m e comprimento = 10 m.
Resposta: 6 m × 10 m
Exercícios para praticar
Tente resolver antes de revelar a resposta.
1. Resolva x² − 7x + 10 = 0.
2. Resolva x² − 4 = 0.
3. Resolva x² − 10x + 25 = 0.
4. Resolva 3x² − 12 = 0.
5. Resolva x² + 6x = 0.
6. Resolva x² + x − 6 = 0.
7. Resolva x² + 3x + 5 = 0.
8. Resolva 2x² + 5x − 3 = 0.
9. Calcule Δ de x² − 8x + 16 = 0.
10. Soma e produto: x² − 5x + 6 = 0. Soma das raízes? Produto?
Demonstração da fórmula de Bhaskara
A fórmula que você usa não caiu do céu — ela vem de uma técnica chamada completar quadrados. Veja o passo a passo:
Partimos da equação geral: ax² + bx + c = 0
1) Divide tudo por a: x² + (b/a)·x + c/a = 0
2) Passa o c/a: x² + (b/a)·x = −c/a
3) Soma (b/2a)² nos dois lados para "completar o quadrado":
x² + (b/a)·x + (b/2a)² = (b/2a)² − c/a
4) O lado esquerdo é um quadrado perfeito: [x + b/(2a)]² = (b² − 4ac)/(4a²)
5) Tira raiz quadrada: x + b/(2a) = ±√(b² − 4ac) / (2a)
6) Isola x: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)
Pronto — chegamos à fórmula de Bhaskara. O termo dentro da raiz é o discriminante Δ = b² − 4ac, que decide se há duas, uma ou nenhuma raiz real. Aprofunde-se em o que é o Delta.
Aplicações do 2º grau no mundo real
🏀 Física — movimento de projéteis
A trajetória de uma bola de basquete, um dardo ou um foguete é uma paráboladescrita por y = y₀ + v₀·t − ½g·t². Achar quando o objeto toca o solo é resolver uma equação do 2º grau.
🏗️ Engenharia — pontes e arcos
Pontes suspensas e arcos parabólicos (como o Gateway Arch) são modelados por equações do 2º grau. Elas definem o vão máximo, a altura e a distribuição de cargas.
💰 Economia — receita e lucro máximo
Se a demanda cai quando o preço sobe, a receita R(p) = p · (a − b·p) é quadrática. O vértice da parábola dá o preço que maximiza a receita — cálculo direto de −b/(2a).
📡 Comunicações — antenas parabólicas
Antenas parabólicas concentram sinais no foco da parábola. O formato é o mesmo do gráfico de uma função do 2º grau — o motivo pelo qual funcionam tão bem.
🌾 Agricultura — área e produção
Quer cercar a maior área com um comprimento fixo de arame? A resposta ideal é um retângulo próximo ao quadrado — encontrado resolvendo uma equação quadrática de otimização.
💊 Farmacologia — concentração de medicamentos
Modelos farmacocinéticos usam funções quadráticas para prever quando a concentração de um remédio no sangue atinge o pico e quando deve ser reaplicado.
Ferramentas relacionadas
Perguntas frequentes
O que é uma equação do 2º grau?
É uma equação na forma ax² + bx + c = 0, com a ≠ 0. O maior expoente da incógnita é 2.
Qual é a fórmula de Bhaskara?
x = (−b ± √Δ) / (2a), onde Δ = b² − 4ac. Ela serve para encontrar as raízes de qualquer equação do 2º grau.
O que o discriminante (Δ) indica?
Se Δ > 0, há duas raízes reais e diferentes. Se Δ = 0, há uma raiz dupla. Se Δ < 0, não há raízes reais.
Quando a equação é incompleta?
Quando b = 0 (ax² + c = 0) ou c = 0 (ax² + bx = 0). Nesses casos é mais rápido isolar x ou fatorar do que usar Bhaskara.
Existem outras formas de resolver além de Bhaskara?
Sim: fatoração, soma e produto (Girard) e completar quadrados. Bhaskara é a mais universal e funciona sempre.
Equação do 2º grau cai no ENEM?
Muito. Aparece em problemas de área, movimento uniformemente variado, lucro máximo, lançamento de projéteis e otimização em geral.
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