Exercícios de Bhaskara Resolvidos Passo a Passo

Nível fácil

Exercício 1 — x² − 5x + 6 = 0

1. a = 1, b = −5, c = 6.
2. Δ = 25 − 24 = 1.
3. x = (5 ± 1) / 2.
4. x₁ = 3, x₂ = 2.

Exercício 2 — x² − 7x + 12 = 0

1. a = 1, b = −7, c = 12.
2. Δ = 49 − 48 = 1.
3. x = (7 ± 1) / 2.
4. x₁ = 4, x₂ = 3.

Exercício 3 — x² + 2x − 8 = 0

1. a = 1, b = 2, c = −8.
2. Δ = 4 + 32 = 36, √Δ = 6.
3. x = (−2 ± 6) / 2.
4. x₁ = 2, x₂ = −4.

Nível médio

Exercício 4 — 2x² − 5x + 2 = 0

1. a = 2, b = −5, c = 2.
2. Δ = 25 − 16 = 9, √Δ = 3.
3. x = (5 ± 3) / 4.
4. x₁ = 2, x₂ = 0,5.

Exercício 5 — 3x² − 12x + 12 = 0

1. a = 3, b = −12, c = 12.
2. Δ = 144 − 144 = 0.
3. x = 12 / 6 = 2 (raiz dupla).

Exercício 6 — −x² + 4x + 5 = 0

1. a = −1, b = 4, c = 5.
2. Δ = 16 + 20 = 36, √Δ = 6.
3. x = (−4 ± 6) / (−2).
4. x₁ = −1, x₂ = 5.

Atenção: quando a é negativo, o denominador 2a também é negativo. Não esqueça do sinal!

Nível difícil

Exercício 7 — 5x² − 11x + 2 = 0

1. a = 5, b = −11, c = 2.
2. Δ = 121 − 40 = 81, √Δ = 9.
3. x = (11 ± 9) / 10.
4. x₁ = 2, x₂ = 0,2.

Exercício 8 — x² − 4x + 13 = 0

1. a = 1, b = −4, c = 13.
2. Δ = 16 − 52 = −36.
3. Como Δ < 0, não há raízes reais.
4. Nos complexos: x = (4 ± 6i) / 2 = 2 ± 3i.

Exercício 9 — equação com fração

Resolver (x²/2) − (3x/2) + 1 = 0. Multiplicando tudo por 2, eliminamos as frações: x² − 3x + 2 = 0.

1. Δ = 9 − 8 = 1.
2. x = (3 ± 1) / 2.
3. x₁ = 2, x₂ = 1.

Se preferir trabalhar com frações sem multiplicar, use a Calculadora de frações.

Exercício aplicado — área de terreno

Um terreno retangular tem 60 m² de área e o comprimento é 4 m maior que a largura. Quais são as dimensões?

1. Largura = x, comprimento = x + 4.
2. Área: x · (x + 4) = 60 → x² + 4x − 60 = 0.
3. Δ = 16 + 240 = 256, √Δ = 16.
4. x = (−4 ± 16) / 2 → x = 6 ou x = −10.
5. Como largura não pode ser negativa, x = 6 m e comprimento = 10 m.

Como interpretar os resultados

• Em problemas geométricos, descarte raízes negativas.
• Em problemas físicos, raízes podem representar tempo (positivo) ou posição (qualquer sinal).
• Em problemas financeiros, raízes costumam indicar pontos de equilíbrio.
• Sempre verifique substituindo cada raiz na equação original.

Nível intermediário — contexto real

Exercício 11 — trajetória de projétil

Uma bola de futebol é chutada e sua altura em metros segue h(t) = −5t² + 15t. Quanto tempo depois do chute ela cai ao chão?

1. h(t) = 0 → −5t² + 15t = 0.
2. Fatoração: t(−5t + 15) = 0.
3. t = 0 (instante do chute) ou t = 3.
4. Resposta: 3 segundos.

Exercício 12 — lucro empresarial

O lucro (em milhares de reais) de uma loja em função das unidades vendidas x é L(x) = −x² + 60x − 500. Para que valores de x a loja atinge o ponto de equilíbrio (L = 0)?

1. −x² + 60x − 500 = 0 → multiplicando por (−1): x² − 60x + 500 = 0.
2. Δ = 3.600 − 2.000 = 1.600, √Δ = 40.
3. x = (60 ± 40) / 2 → x₁ = 50 e x₂ = 10.
4. Vendendo entre 10 e 50 unidades a loja tem lucro positivo.

Exercício 13 — piscina retangular

Uma piscina retangular tem 84 m² de área e o comprimento é 5 m maior que a largura. Encontre as dimensões.

1. Largura = x, comprimento = x + 5.
2. x(x + 5) = 84 → x² + 5x − 84 = 0.
3. Δ = 25 + 336 = 361, √Δ = 19.
4. x = (−5 ± 19) / 2 → x = 7 ou x = −12 (descartado).
5. Piscina: 7 m × 12 m.

Exercício 14 — números consecutivos

A soma dos quadrados de dois números inteiros consecutivos é 313. Quais são os números?

1. Números: x e x + 1.
2. x² + (x + 1)² = 313 → 2x² + 2x − 312 = 0 → x² + x − 156 = 0.
3. Δ = 1 + 624 = 625, √Δ = 25.
4. x = (−1 ± 25) / 2 → x = 12 ou x = −13.
5. Pares válidos: 12 e 13 (ou −13 e −12).

Exercício 15 — idade

A idade de João multiplicada pela idade daqui a 4 anos é 96. Qual sua idade atual?

1. x(x + 4) = 96 → x² + 4x − 96 = 0.
2. Δ = 16 + 384 = 400, √Δ = 20.
3. x = (−4 ± 20) / 2 → x = 8 ou x = −12 (descartado).
4. João tem 8 anos.

Nível avançado — ENEM e vestibular

Exercício 16 — parâmetro k

Para qual valor de k a equação x² − 8x + k = 0 tem raízes reais e iguais?

1. Δ = 0 → 64 − 4k = 0 → k = 16.
2. Conferência: raiz dupla x = 8/2 = 4.

Exercício 17 — equação biquadrada

Resolva x⁴ − 5x² + 4 = 0.

1. Faça y = x². A equação vira y² − 5y + 4 = 0.
2. Δ = 25 − 16 = 9 → y = (5 ± 3)/2 → y₁ = 4, y₂ = 1.
3. Volte para x: x² = 4 → x = ±2. x² = 1 → x = ±1.
4. Quatro raízes: x = ±1, ±2.

Exercício 18 — soma e produto (Girard)

Sabendo que as raízes de uma equação do 2º grau são 3 e 7, monte a equação.

1. Soma = 10, produto = 21.
2. Equação: x² − (soma)x + (produto) = 0.
3. Resultado: x² − 10x + 21 = 0.

Exercício 19 — sem raízes reais

Para que valores de m a equação x² + 6x + m = 0 não tem raízes reais?

1. Δ < 0 → 36 − 4m < 0.
2. Resolvendo: m > 9.

Exercício 20 — problema geométrico ENEM

Um jardim quadrado é ampliado em 3 m em um dos lados e 2 m no outro, resultando em uma área de 90 m². Qual era o lado original?

1. Lado original: x. Nova área: (x + 3)(x + 2) = 90.
2. x² + 5x + 6 = 90 → x² + 5x − 84 = 0.
3. Δ = 25 + 336 = 361, √Δ = 19.
4. x = (−5 ± 19)/2 → x = 7 (válido).
5. Lado original: 7 m.

Dez exercícios adicionais para treinar

Resolva sozinho e confira o gabarito. Sempre calcule Δ primeiro.

Treine na prática

Quando bater dúvida, abra a Calculadora de Bhaskara e digite os coeficientes — você vê todo o passo a passo, o valor de Δ, as raízes e o gráfico da parábola. Combine isso com a leitura de porcentagem, média e regra de três para fechar a revisão de matemática básica.

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