O que é Progressão Geométrica (PG)?
Uma Progressão Geométrica é uma sequência de números na qual cada termo é obtido multiplicando o anterior por um valor fixo. Esse multiplicador constante chama-se razão e é representado pela letra q.
Repare: para passar de um termo para o próximo, multiplicamos sempre por 3. Esse padrão é o que define uma PG.
Como descobrir a razão
Basta dividir qualquer termo pelo anterior. Se o resultado for igual em toda a sequência, é uma PG:
Na PG 2, 6, 18, 54: 6 ÷ 2 = 3, 18 ÷ 6 = 3, 54 ÷ 18 = 3. A razão é q = 3.
Tipos de PG
| Tipo | Razão | Exemplo |
|---|---|---|
| Crescente | q > 1 (com a₁ > 0) | 2, 4, 8, 16, … |
| Decrescente | 0 < q < 1 | 1000, 500, 250, … |
| Constante | q = 1 | 7, 7, 7, 7, … |
| Alternada | q < 0 | 3, −6, 12, −24, … |
Importante: em uma PG, a₁ e q nunca podem ser zero.
Fórmula do termo geral
Para descobrir qualquer termo da PG sem listar todos, use:
- aₙ: termo de posição n (o que queremos achar).
- a₁: primeiro termo da PG.
- n: posição do termo (1º, 2º, 10º, …).
- q: razão da PG.
Exemplo: numa PG com a₁ = 2 e q = 3, o 6º termo é a₆ = 2 · 3⁵ = 2 · 243 = 486.
Soma dos n primeiros termos
Quando a razão é diferente de 1, usamos:
Quando q = 1, todos os termos são iguais a a₁ e a soma é simplesmente Sₙ = n · a₁.
Dica de prova: antes de aplicar a fórmula da soma, confira se q ≠ 1. Calcule primeiro qⁿ e só depois faça a subtração e a divisão — é onde acontece a maior parte dos erros.
PG e juros compostos
Sempre que um valor cresce (ou cai) por uma porcentagem fixa repetidas vezes, ele forma uma PG. Por isso a PG é o coração dos juros compostos:
Aqui, (1 + i) é exatamente a razão q de uma PG, e cada mês (ou ano) é um novo termo da sequência.
Quando a PG aparece no dia a dia
- Juros compostos em investimentos e financiamentos.
- Crescimento populacional a taxa constante.
- Reajustes anuais por percentual fixo (aluguel, salário).
- Depreciação por porcentagem (carros, equipamentos).
- Divisão celular, decaimento radioativo e meia-vida.
- Pirâmides, correntes e tudo que “dobra a cada etapa”.
Erros mais comuns
- Esquecer do (n − 1) no expoente — é o erro nº 1.
- Usar a fórmula da soma quando q = 1 (dá divisão por zero).
- Confundir PG com PA (PA soma, PG multiplica).
- Esquecer que em PG alternada (q < 0) os termos trocam de sinal.
- Calcular qⁿ⁻¹ na calculadora sem usar parênteses no expoente.
Exercícios resolvidos
Acompanhe o raciocínio passo a passo de 8 exercícios.
Exercício 1. Em uma PG com a₁ = 2 e q = 3, qual é o 6º termo?
- Use a fórmula do termo geral: aₙ = a₁ · q^(n − 1).
- Substitua: a₆ = 2 · 3^(6 − 1) = 2 · 3⁵.
- Calcule 3⁵ = 243 e multiplique: a₆ = 2 · 243 = 486.
Resposta: a₆ = 486
Exercício 2. Calcule a soma dos 8 primeiros termos da PG: 1, 2, 4, 8, …
- Identifique: a₁ = 1 e q = 2 ÷ 1 = 2.
- Como q ≠ 1, use Sₙ = a₁ · (qⁿ − 1) / (q − 1).
- Substitua: S₈ = 1 · (2⁸ − 1) / (2 − 1) = (256 − 1) / 1.
- Resultado: S₈ = 255.
Resposta: S₈ = 255
Exercício 3. Numa PG, a₁ = 3 e a₄ = 81. Qual é a razão q?
- Aplique a₄ = a₁ · q³: 81 = 3 · q³.
- Divida por 3: q³ = 27.
- Extraia a raiz cúbica: q = 3.
Resposta: q = 3
Exercício 4. PG decrescente: a₁ = 1000 e q = 1/2. Calcule a₅.
- a₅ = 1000 · (1/2)^(5 − 1) = 1000 · (1/2)⁴.
- (1/2)⁴ = 1/16.
- a₅ = 1000 · 1/16 = 62,5.
Resposta: a₅ = 62,5
Exercício 5. PG alternada: a₁ = 4 e q = −2. Encontre os 5 primeiros termos e a₅.
- Multiplique sempre por −2: 4, −8, 16, −32, 64.
- Conferindo pela fórmula: a₅ = 4 · (−2)⁴ = 4 · 16 = 64.
Resposta: Sequência: 4, −8, 16, −32, 64 e a₅ = 64.
Exercício 6. Quantos termos tem a PG 2, 6, 18, …, 1458?
- a₁ = 2, q = 6 ÷ 2 = 3, aₙ = 1458.
- Use 1458 = 2 · 3^(n − 1) → 3^(n − 1) = 729.
- Como 729 = 3⁶, temos n − 1 = 6, então n = 7.
Resposta: 7 termos
Exercício 7. Uma cidade tem hoje 50.000 habitantes e cresce 10% ao ano. Quantos habitantes terá daqui a 5 anos?
- Crescer 10% equivale a multiplicar por 1,1 a cada ano → PG com q = 1,1.
- Daqui a 5 anos é o 6º termo (hoje é a₁): a₆ = 50000 · (1,1)⁵.
- (1,1)⁵ ≈ 1,61051, então a₆ ≈ 50000 · 1,61051 ≈ 80.525.
Resposta: ≈ 80.525 habitantes
Exercício 8. Investimento de R$ 1.000 que rende 2% ao mês (juros compostos). Quanto terá em 12 meses?
- Juros compostos formam uma PG com q = 1,02.
- Após 12 meses é o 13º termo: M = 1000 · (1,02)¹².
- (1,02)¹² ≈ 1,2682, então M ≈ R$ 1.268,24.
Resposta: ≈ R$ 1.268,24
Exercícios para praticar
Tente resolver antes de revelar a resposta.
1. Em uma PG com a₁ = 5 e q = 2, calcule a₇.
2. Qual é o 6º termo da PG 3, 6, 12, …?
3. Numa PG, a₁ = 2 e a₅ = 162. Qual é q (positivo)?
4. Soma dos 10 primeiros termos da PG 1, 2, 4, 8, …
5. Soma dos 6 primeiros termos da PG 3, 6, 12, 24, …
6. Quantos termos tem a PG 2, 4, 8, …, 1024?
7. PG decrescente: a₁ = 64 e q = 1/2. Calcule a₆.
8. PG alternada: a₁ = 1 e q = −3. Calcule a₄.
9. Quanto rende R$ 500 a 1% a.m. em juros compostos por 6 meses?
10. Uma bactéria duplica a cada hora. Começando com 10, quantas haverá após 8 horas?
Ferramentas relacionadas
Perguntas frequentes
O que é Progressão Geométrica (PG)?
É uma sequência de números em que cada termo é obtido multiplicando o anterior por um valor fixo chamado razão (q).
Como descobrir a razão de uma PG?
Basta dividir qualquer termo pelo anterior: q = a₂ ÷ a₁ = a₃ ÷ a₂. O resultado precisa ser o mesmo em toda a sequência.
Qual é a fórmula do termo geral da PG?
aₙ = a₁ · q^(n − 1). Ela permite calcular qualquer termo sem listar os anteriores.
Como calcular a soma dos n primeiros termos?
Quando q ≠ 1, use Sₙ = a₁ · (qⁿ − 1) / (q − 1). Quando q = 1, todos os termos são iguais e Sₙ = n · a₁.
Qual a diferença entre PA e PG?
Na PA somamos sempre o mesmo valor (a razão r) de um termo para o outro. Na PG multiplicamos sempre pelo mesmo valor (a razão q).
Onde a PG aparece no dia a dia?
Em juros compostos, crescimento populacional, depreciação por porcentagem, divisão celular, decaimento radioativo e em muitos problemas do ENEM e vestibulares.
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