O que é Progressão Aritmética (PA)?
Uma Progressão Aritmética é uma sequência de números na qual a diferença entre cada termo e o anterior é sempre a mesma. Essa diferença constante chama-se razão e é representada pela letra r.
Repare: para passar de um termo para o próximo, somamos sempre 3. Esse padrão é o que define uma PA.
Como descobrir a razão
Basta subtrair qualquer termo pelo anterior. Se o resultado for igual em toda a sequência, é uma PA:
Na PA 2, 5, 8, 11: 5 − 2 = 3, 8 − 5 = 3, 11 − 8 = 3. A razão é r = 3.
Tipos de PA
| Tipo | Razão | Exemplo |
|---|---|---|
| Crescente | r > 0 | 2, 5, 8, 11, … |
| Decrescente | r < 0 | 20, 17, 14, 11, … |
| Constante | r = 0 | 7, 7, 7, 7, … |
Fórmula do termo geral
Para descobrir qualquer termo da PA sem listar todos, use:
- aₙ: termo de posição n (o que queremos achar).
- a₁: primeiro termo da PA.
- n: posição do termo (1º, 2º, 10º, …).
- r: razão da PA.
Exemplo: numa PA com a₁ = 3 e r = 4, o 10º termo é a₁₀ = 3 + (10 − 1) · 4 = 3 + 36 = 39.
Soma dos n primeiros termos
A famosa fórmula descoberta por Gauss ainda criança:
Em palavras: a soma é a média entre o primeiro e o último termo multiplicada pela quantidade de termos. Funciona porque, em uma PA, somar o 1º com o último dá o mesmo que somar o 2º com o penúltimo, e assim por diante.
Dica de prova: antes de aplicar a soma, quase sempre você precisa achar aₙ pela fórmula do termo geral. É o passo que mais gera erro — não pule.
Quando a PA aparece no dia a dia
- Aumentos salariais fixos por ano de empresa.
- Parcelas iguais de um financiamento sem juros.
- Depreciação linear de um bem (o valor cai sempre o mesmo).
- Economia mensal acumulada quando você guarda o mesmo valor todo mês.
- Soma de números pares, ímpares ou múltiplos de um número.
Erros mais comuns
- Esquecer do (n − 1) na fórmula — é o erro mais frequente.
- Trocar o sinal da razão em PA decrescente (r precisa ser negativo).
- Tentar somar usando a fórmula sem antes calcular aₙ.
- Confundir posição (n) com valor do termo (aₙ).
Exercícios resolvidos
Acompanhe o raciocínio passo a passo de 8 exercícios.
Exercício 1. Em uma PA com a₁ = 3 e r = 4, qual é o 10º termo?
- Use a fórmula do termo geral: aₙ = a₁ + (n − 1) · r.
- Substitua: a₁₀ = 3 + (10 − 1) · 4 = 3 + 9 · 4.
- Calcule: a₁₀ = 3 + 36 = 39.
Resposta: a₁₀ = 39
Exercício 2. Calcule a soma dos 20 primeiros termos da PA: 2, 5, 8, 11, …
- Identifique: a₁ = 2 e r = 5 − 2 = 3.
- Ache o 20º termo: a₂₀ = 2 + 19 · 3 = 59.
- Use a soma: Sₙ = n · (a₁ + aₙ) / 2 = 20 · (2 + 59) / 2.
- Resultado: S₂₀ = 20 · 61 / 2 = 610.
Resposta: S₂₀ = 610
Exercício 3. Numa PA, a₁ = 7 e a₅ = 23. Qual é a razão?
- Aplique aₙ = a₁ + (n − 1) · r com n = 5: 23 = 7 + 4 · r.
- Isole r: 4r = 23 − 7 = 16.
- Divida por 4: r = 4.
Resposta: r = 4
Exercício 4. Quantos termos tem a PA 4, 7, 10, …, 100?
- a₁ = 4, r = 3, aₙ = 100.
- Use 100 = 4 + (n − 1) · 3 → 96 = (n − 1) · 3.
- Divida: n − 1 = 32 → n = 33.
Resposta: 33 termos
Exercício 5. PA decrescente: a₁ = 50, r = −5. Calcule a₈.
- a₈ = 50 + (8 − 1) · (−5) = 50 + 7 · (−5).
- Calcule: a₈ = 50 − 35 = 15.
Resposta: a₈ = 15
Exercício 6. Soma dos números pares de 2 até 100.
- É uma PA com a₁ = 2, r = 2, aₙ = 100.
- Quantidade de termos: 100 = 2 + (n − 1) · 2 → n = 50.
- Soma: S₅₀ = 50 · (2 + 100) / 2 = 2.550.
Resposta: 2.550
Exercício 7. Um trabalhador recebe R$ 2.500 no 1º ano e ganha aumento fixo de R$ 150 por ano. Quanto receberá no 10º ano?
- Modele como PA: a₁ = 2500, r = 150, n = 10.
- a₁₀ = 2500 + 9 · 150 = 2500 + 1350.
- Resultado: a₁₀ = 3850.
Resposta: R$ 3.850,00 no 10º ano
Exercício 8. A soma dos n primeiros números naturais (1 + 2 + 3 + … + n) com n = 100.
- PA com a₁ = 1, r = 1, aₙ = 100.
- S₁₀₀ = 100 · (1 + 100) / 2.
- Resultado: S₁₀₀ = 5.050.
Resposta: 5.050
Exercícios para praticar
Tente resolver antes de revelar a resposta.
1. Em uma PA com a₁ = 5 e r = 2, calcule a₁₂.
2. Qual é o 15º termo da PA 4, 9, 14, …?
3. Numa PA, a₁ = 10 e a₈ = 38. Qual é r?
4. Soma dos 10 primeiros termos da PA 1, 3, 5, 7, …
5. Soma de 1 + 2 + 3 + … + 50.
6. Quantos termos tem a PA 6, 11, 16, …, 86?
7. PA decrescente: a₁ = 100 e r = −4. Calcule a₂₀.
8. Soma dos números ímpares de 1 a 99.
9. Numa PA, a₃ = 11 e a₇ = 27. Determine a₁ e r.
10. Um pedreiro coloca 30 tijolos na 1ª fileira e diminui 2 a cada fileira. Quantos tijolos na 10ª fileira?
Ferramentas relacionadas
Perguntas frequentes
O que é Progressão Aritmética (PA)?
É uma sequência de números em que a diferença entre dois termos consecutivos é sempre a mesma. Essa diferença constante chama-se razão (r).
Como descobrir a razão de uma PA?
Basta subtrair qualquer termo pelo anterior: r = a₂ − a₁ = a₃ − a₂. O resultado precisa ser o mesmo em toda a sequência.
Qual é a fórmula do termo geral?
aₙ = a₁ + (n − 1) · r. Ela permite calcular qualquer termo da PA sem precisar listar todos os anteriores.
Como calcular a soma dos n primeiros termos?
Use Sₙ = n · (a₁ + aₙ) / 2. É a média entre o primeiro e o último termo, multiplicada pela quantidade de termos.
PA pode ter razão negativa?
Sim. Quando r > 0 a PA é crescente, quando r < 0 é decrescente e quando r = 0 todos os termos são iguais (PA constante).
Onde usamos PA no dia a dia?
Em aumentos salariais fixos, prestações iguais, depreciação linear, parcelas de financiamento sem juros, planos de economia mensal e em muitos exercícios do ENEM e vestibulares.
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