Resposta rápida
Qual é a fórmula da Progressão Geométrica?
👉 Termo geral: aₙ = a₁ · q^(n − 1). Soma (q ≠ 1): Sₙ = a₁ · (q^n − 1) / (q − 1). Onde a₁ é o primeiro termo, q a razão e n a posição.
O que é uma Progressão Geométrica?
Uma Progressão Geométrica (PG) é uma sequência de números em que cada termo é obtido multiplicando o anterior por um valor fixo. Esse multiplicador constante é chamado de razão e é representado pela letra q.
Em uma PG, o crescimento é multiplicativo e exponencial: a cada passo a sequência ganha (ou perde) uma fração do total, e não um valor fixo. É por isso que a PG descreve fenômenos como juros compostos, populações que dobram e tecnologia em expansão.
a₁ = 2, q = 2
→ 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128…
(cada termo = anterior × 2)
a₁ = 3, q = 2
→ 3, 6, 12, 24, 48, 96…
(crescimento exponencial)
Aplicações reais
Onde usamos PG no dia a dia?
A PG aparece sempre que algo cresce ou diminui em uma taxa percentual constante — o que é extremamente comum em finanças, biologia e tecnologia.
Finanças e investimentos
- • Juros compostos em poupança, CDB e renda fixa.
- • Crescimento de capital em investimentos.
- • Depreciação de carros e equipamentos.
- • Inflação acumulada ao longo dos anos.
Ciência e tecnologia
- • Crescimento populacional de bactérias e vírus.
- • Disseminação em redes sociais.
- • Decaimento radioativo (PG com q < 1).
- • Capacidade de processadores e armazenamento.
Como calcular PG passo a passo
Saber identificar a₁, q e n já resolve quase tudo. O resto é aplicar as duas fórmulas centrais.
1. Encontre a razão (q)
Pegue qualquer termo e divida pelo anterior: q = a₂ / a₁. Se a razão não for sempre igual, a sequência não é PG.
2. Identifique a₁ e n
a₁ é o primeiro termo e n é a posição do termo procurado (1º, 2º, 3º…).
3. Aplique o termo geral
aₙ = a₁ · q^(n − 1) encontra qualquer termo sem listar todos os anteriores.
4. Calcule a soma
Use Sₙ = a₁ · (q^n − 1) / (q − 1) quando precisar somar os n primeiros termos (com q ≠ 1).
5. Confira o resultado
Divida dois termos consecutivos quaisquer: o resultado deve ser sempre q.
Erros comuns ao resolver PG
A maior parte dos erros não está na fórmula — está em confundir PA com PG ou tropeçar nas potências.
- 1Tratar a PG como se fosse PA — somando a razão em vez de multiplicar por ela.
- 2Calcular a razão como a₁ / a₂ em vez de a₂ / a₁ e inverter o crescimento.
- 3Esquecer o expoente (n − 1) no termo geral e usar q^n.
- 4Errar a ordem de potência (q^n − 1) e calcular q · (n − 1) por engano.
- 5Usar a fórmula Sₙ = a₁·(q^n − 1)/(q − 1) quando q = 1 (gera divisão por zero — use n · a₁).
- 6Confundir crescimento percentual: 10% ao período significa q = 1,1, não q = 0,1.
PA vs PG: qual usar?
Antes de aplicar fórmula, identifique se o crescimento é fixo em valor (PA) ou fixo em percentual (PG).
| Característica | PA | PG |
|---|---|---|
| Operação entre termos | Soma constante (r) | Multiplicação constante (q) |
| Tipo de crescimento | Linear | Exponencial |
| Termo geral | aₙ = a₁ + (n − 1)·r | aₙ = a₁ · q^(n − 1) |
| Exemplo prático | Salário +R$ 150/ano | Investimento +10%/ano |
| Sequência típica | 2, 5, 8, 11, 14… | 2, 4, 8, 16, 32… |
Para situações com variação percentual contínua (como rendimentos financeiros), use também a calculadora de juros compostos — que é uma aplicação direta da PG.
Exemplo contextualizado
Vamos sair da fórmula crua e aplicar em um caso real de investimento.
Situação
Você investe R$ 1.000 em uma aplicação que rende 10% ao período. Quanto terá após 6 períodos? E quanto somariam todos os saldos a cada período?
Por que PG?
Porque o rendimento é percentual — a cada período o saldo é multiplicado por 1,10 (o que equivale a +10%). Esse é o padrão de crescimento exponencial, exatamente o que a PG descreve.
Resolução
- a₁ = 1000, q = 1,10, n = 6.
- Sequência: 1000 → 1100 → 1210 → 1331 → 1464,10 → 1610,51 → 1771,56.
- a₆ = 1000 · 1,10⁵ ≈ R$ 1.610,51 (saldo no 6º período).
- S₆ = 1000 · (1,10⁶ − 1) / (1,10 − 1) ≈ R$ 7.715,61.
Interpretação
Em 6 períodos o saldo cresceu mais de 60% mesmo com uma taxa de apenas 10%. Essa aceleração é a essência do crescimento exponencial — e o motivo pelo qual juros compostos são tão poderosos a longo prazo.
Representação visual
Uma forma simples de enxergar como o termo geral funciona.
a₁ = 2
a₂ = 2 · 2¹ = 4
a₃ = 2 · 2² = 8
a₄ = 2 · 2³ = 16
a₅ = 2 · 2⁴ = 32
─────────
aₙ = a₁ · q^(n − 1) = 2 · 2^(n − 1)
Repare que a posição n aparece como expoente (n − 1) em q. É esse detalhe que faz a fórmula funcionar para qualquer termo — e que gera o crescimento exponencial característico da PG.
Continue aprendendo matemática
PG é a base matemática por trás de juros compostos, crescimento populacional e somatórios. Continue explorando o cluster de matemática do SóCalculadora.
Progressão Aritmética
Sequências com crescimento linear e razão fixa somada.
Juros Compostos
Aplicação direta da PG em investimentos e financiamentos.
Porcentagem
Variações percentuais que geram crescimento de PG.
Bhaskara
Equações do 2º grau com passo a passo.
Aprenda matemática online com ferramentas visuais e explicações passo a passo no SóCalculadora. Explore o guia de matemática básica ou veja todas as calculadoras matemáticas do nosso cluster educacional.
Perguntas frequentes
O que é uma Progressão Geométrica (PG)?
Qual é a fórmula do termo geral da PG?
Como calcular a soma dos termos de uma PG?
Como descobrir a razão de uma PG?
Qual a diferença entre PA e PG?
A razão da PG pode ser negativa ou menor que 1?
Onde a PG aparece no dia a dia?
Metodologia
A calculadora aplica as fórmulas clássicas da PG — termo geral aₙ = a₁ · q^(n − 1) e soma Sₙ = a₁ · (q^n − 1) / (q − 1) — e exibe a sequência e o passo a passo automaticamente. Conteúdo revisado pela equipe editorial. Veja a política editorial.
Última revisão: Junho de 2026