Como Calcular Progressão Geométrica (PG) Passo a Passo

O que é uma Progressão Geométrica?

Uma Progressão Geométrica (PG) é uma sequência de números em que cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando o anterior por um mesmo valor fixo. Esse valor é chamado de razão e representado pela letra q.

Pense assim: se uma colônia de bactérias dobra a cada hora, as quantidades formam uma PG. O crescimento não é constante como na PA — ele acelera com o tempo, porque cada novo termo é maior que o anterior, e ainda assim multiplicamos pelo mesmo fator.

Como identificar uma PG

Identificar uma PG é mais fácil do que parece. O segredo está na razão constante. Basta pegar qualquer termo, dividir pelo anterior e verificar se o resultado é sempre o mesmo.

Sequências que são PG:

• 3, 6, 12, 24… → divisão sempre 2 ✅
• 81, 27, 9, 3… → divisão sempre 1/3 ✅
• 5, −10, 20, −40… → divisão sempre −2 ✅

Sequências que NÃO são PG:

• 2, 4, 6, 8… → divisões: 2, 1,5, 1,33 (não é constante) ❌
• 1, 1, 2, 3, 5… → divisões variadas (Fibonacci) ❌
• 10, 20, 30, 40… → divisões: 2, 1,5, 1,33 (essa é PA) ❌

Quando a divisão não é a mesma em todos os pares consecutivos, a sequência não é uma Progressão Geométrica. Pode ser uma Progressão Aritmética, Fibonacci ou outro tipo de sequência matemática.

O que é a razão da PG?

A razão (q) é o "motor" da Progressão Geométrica. É o fator pelo qual multiplicamos para ir de um termo ao próximo. Pode ser um número inteiro, decimal, positivo, negativo ou até uma fração.

Exemplo prático: Na sequência 7, 14, 28, 56…

• q = 14 ÷ 7 = 2
• q = 28 ÷ 14 = 2
• q = 56 ÷ 28 = 2

A razão sempre vale 2. Isso confirma que temos uma PG crescente. Se a razão estivesse entre 0 e 1, teríamos uma PG decrescente (os termos diminuem). Se fosse negativa, os sinais alternariam entre positivo e negativo.

Fórmula do termo geral da PG

A fórmula do termo geral é a ferramenta mais poderosa da PG. Com ela, você encontra qualquer termo da sequência sem precisar escrever todos os anteriores.

Onde:

• aₙ = termo que você quer encontrar (na posição n)
• a₁ = primeiro termo da sequência
• n = posição do termo desejado (1º, 2º, 10º, 50º…)
• q = razão da PG

A fórmula funciona porque, para chegar ao n-ésimo termo, você precisa multiplicar o primeiro termo pela razão (n − 1) vezes. Cada multiplicação "pula" um termo, então o expoente é sempre uma unidade menor que a posição desejada.

Como encontrar qualquer termo da PG

Vamos ver na prática como usar a fórmula do termo geral para encontrar termos específicos.

Exemplo 1 — Encontrar o 5º termo

Dada a PG: 2, 6, 18, 54… Encontre o 5º termo.

1. Identificamos: a₁ = 2 e q = 3 (porque 6 ÷ 2 = 3)
2. Queremos o 5º termo, então n = 5
3. Aplicamos: a₅ = 2 · 3^(5 − 1) = 2 · 3⁴
4. a₅ = 2 · 81 = 162

O 5º termo da sequência é 162. Confira: 2, 6, 18, 54, 162. ✅

Exemplo 2 — Encontrar o 8º termo

Dada a PG: 5, 10, 20, 40… Encontre o 8º termo.

1. a₁ = 5 e q = 2
2. n = 8
3. a₈ = 5 · 2^(8 − 1) = 5 · 2⁷
4. a₈ = 5 · 128 = 640

Exemplo 3 — PG decrescente

Dada a PG: 256, 128, 64, 32… Encontre o 6º termo.

1. a₁ = 256 e q = 0,5 (porque 128 ÷ 256 = 0,5)
2. n = 6
3. a₆ = 256 · 0,5^(6 − 1) = 256 · 0,5⁵
4. a₆ = 256 · 0,03125 = 8

Mesmo com razão decimal, a fórmula funciona perfeitamente. O 6º termo é 8.

Como calcular a soma dos termos da PG

Em muitos problemas, não basta saber um termo isolado — precisamos da somade vários termos. A fórmula da soma é essencial para problemas de investimentos, depreciação e acúmulo de valores.

Onde:

• Sₙ = soma dos n primeiros termos
• a₁ = primeiro termo
• q = razão da PG
• n = quantidade de termos somados

Quando q = 1, todos os termos são iguais e a fórmula simplifica para Sₙ = n · a₁. Quando q > 1, a soma cresce rapidamente porque os termos aumentam exponencialmente.

Exemplo prático de soma

Calcule a soma dos 6 primeiros termos da PG: 3, 6, 12, 24…

1. a₁ = 3, q = 2, n = 6
2. S₆ = 3 · (2⁶ − 1) ÷ (2 − 1)
3. S₆ = 3 · (64 − 1) ÷ 1
4. S₆ = 3 · 63 = 189

A soma dos 6 primeiros termos é 189. Confira: 3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 = 189. ✅

Aplicações da PG no dia a dia

A PG não vive só nos livros de matemática. Ela aparece o tempo todo em situações reais, muitas vezes sem que a gente perceba. Aqui estão as principais:

Em biologia, a PG modela populações que crescem sem limitação de recursos. Em economia, explica por que dívidas com juros compostos crescem tão rápido. Em tecnologia, descreve a evolução exponencial do poder computacional.

Diferença entre PA e PG

Uma das confusões mais comuns é misturar PA com PG. Saber diferenciar as duas economiza tempo e evita erro grave de fórmula na prova.

A regra prática é simples: se o enunciado fala em "aumento de R$ X por mês", é PA. Se fala em "aumento de X% ao mês", é PG (juros compostos).

Erros mais comuns em PG

A maioria dos erros em PG não está na fórmula em si, mas em pequenos descuidos que comprometem todo o cálculo. Conhecê-los de antemão economiza tempo e pontos na prova.

• 1Confundir PG com PA e usar soma em vez de multiplicação na razão.
• 2Esquecer o (n − 1) no expoente e usar apenas n — isso desloca todos os termos em uma posição.
• 3Errar a potenciação: 2⁵ não é 2 · 5 = 10, mas sim 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32.
• 4Usar a fórmula da soma sem verificar se q = 1 (caso especial onde a fórmula muda).
• 5Não observar o sinal da razão: q negativo alterna os sinais dos termos.
• 6Confundir 'quantidade de termos' com 'posição do último termo' quando a sequência não começa em a₁.

A melhor forma de evitar esses erros é sempre conferir: divida dois termos consecutivos e veja se o resultado bate com a razão que você calculou.

Exercícios resolvidos de PG

Exercício 1 — Fácil

Determine o 6º termo da PG: 4, 8, 16, 32…

1. a₁ = 4, q = 2 (porque 8 ÷ 4 = 2)
2. n = 6
3. a₆ = 4 · 2^(6 − 1) = 4 · 2⁵ = 4 · 32 = 128

Exercício 2 — Intermediário

Qual a soma dos 5 primeiros termos da PG: 2, 6, 18, 54…?

1. a₁ = 2, q = 3, n = 5
2. S₅ = 2 · (3⁵ − 1) ÷ (3 − 1)
3. S₅ = 2 · (243 − 1) ÷ 2 = 2 · 242 ÷ 2 = 242

Exercício 3 — Vestibular

Um investidor aplica R$ 1.000 em um fundo que rende 10% ao mês. Qual o valor acumulado após 6 meses e qual o total de rendimentos nesse período?

1. Modelamos como PG: a₁ = 1000, q = 1,10 (acréscimo de 10%), n = 6
2. Valor no 6º mês: a₆ = 1000 · 1,10⁵ = 1000 · 1,61051 = R$ 1.610,51
3. Total acumulado (soma): S₆ = 1000 · (1,10⁶ − 1) ÷ (1,10 − 1)
4. S₆ = 1000 · (1,771561 − 1) ÷ 0,10 = 1000 · 0,771561 ÷ 0,10 = R$ 7.715,61
5. Rendimento total: 7715,61 − 6000 = R$ 1.715,61 acima do capital investido

Note como os juros compostos fazem o dinheiro crescer aceleradamente — esse é o poder da Progressão Geométrica aplicada às finanças pessoais.

Ferramentas relacionadas

O SóCalculadora oferece várias ferramentas que complementam o estudo de Progressões Geométricas e outras sequências matemáticas:

• Calculadora de PG — Calcule termo geral, soma e visualize a sequência completa com passo a passo.
• Calculadora de PA — Complemente seu estudo com Progressão Aritmética e crescimento linear.
• Calculadora de Juros Compostos — Aplicação financeira direta da PG no planejamento de investimentos.
• Calculadora de Somatório — Entenda a notação sigma e some sequências de forma eficiente.
• Porcentagem — Útil quando problemas de PG envolvem taxas percentuais de crescimento.
• Equação do 1º Grau — Base essencial para isolar incógnitas em problemas de sequências.

PG infinita convergente e os paradoxos de Zenão

Quando a razão q está entre −1 e 1 (|q| < 1), somar infinitos termos de uma PG dá um número finito. Essa é a chamada soma da PG infinita convergente:

O paradoxo de Aquiles e a tartaruga

O filósofo grego Zenão de Eleia (séc. V a.C.) argumentou que Aquiles nunca alcançaria a tartaruga se esta partisse com vantagem: sempre que Aquiles chegasse ao ponto anterior da tartaruga, ela teria avançado uma fração menor. Zenão via nisso um paradoxo. A PG infinita convergente resolve o mistério:

Fractais e a PG infinita

Fractais como o Floco de Neve de Koch ou o Triângulo de Sierpinski são construídos por repetição infinita — e suas áreas e perímetros são calculados com somas de PG. No floco de Koch, o perímetro cresce indefinidamente (PG com q = 4/3, divergente), mas a área é finita (PG com q = 4/9, convergente).

Outros exemplos: dízimas periódicas (0,999... = 9/10 + 9/100 + … = 1 exatamente), decaimento radioativo, capacidade de canais em telecomunicações e amortização de dívidas.

Conclusão

A Progressão Geométrica é um conceito acessível, mas extremamente poderoso. Com apenas duas fórmulas — o termo geral e a soma dos termos — você resolve problemas que vão do ensino médio até questões de vestibular, concursos e finanças pessoais.

O segredo está em praticar: identifique a razão, memorize as fórmulas e sempre confira se a divisão entre termos consecutivos é constante. Quanto mais exercícios você resolver, mais natural o raciocínio exponencial se torna.

Quer praticar com exemplos reais e ver o passo a passo automático? Use a Calculadora de Progressão Geométrica do SóCalculadora — é gratuita, rápida e mostra cada etapa da resolução.