O que é a função exponencial?
A função exponencial é definida por:
f(x) = aˣ, com a > 0 e a ≠ 1
O detalhe que muda tudo: a variável está no expoente, não na base. Isso faz a função crescer (ou decrescer) muito mais rápido que uma função polinomial.
Crescimento × Decaimento
| Base | Comportamento | Exemplo |
|---|---|---|
| a > 1 | Crescente (cresce rápido) | f(x) = 2ˣ, 3ˣ, eˣ |
| 0 < a < 1 | Decrescente (decai rápido) | f(x) = (1/2)ˣ, (0,8)ˣ |
Domínio, imagem e assíntota
- Domínio: todos os reais — D(f) = ℝ.
- Imagem: apenas valores positivos — Im(f) = (0, +∞).
- Assíntota horizontal: a reta y = 0 (a curva se aproxima mas nunca toca).
- Passa sempre por (0, 1): pois a⁰ = 1, qualquer que seja a base.
Equações exponenciais
A estratégia mais comum é deixar os dois lados com a mesma base:
Se aˣ = aʸ ⇒ x = y
Exemplo: 2ˣ = 64 ⇒ 2ˣ = 2⁶ ⇒ x = 6. Quando não é possível igualar as bases, usa-se logaritmo (assunto do próximo módulo).
Aplicações no dia a dia
- Juros compostos: M = C·(1+i)ᵗ — o tempo está no expoente.
- Crescimento populacional: bactérias, vírus, redes sociais.
- Decaimento radioativo: meia-vida de elementos químicos.
- Depreciação: valor de carro, celular ou máquina caindo ao longo do tempo.
- Resfriamento: temperatura de um corpo aproximando-se do ambiente.
Dica de prova: antes de tentar resolver uma equação exponencial, pergunte: "consigo escrever os dois lados na mesma base?". Se sim, iguale os expoentes. Esse truque resolve 90% das questões de ENEM.
Exercícios resolvidos
Acompanhe o passo a passo de 6 questões.
Exercício 1. Dada f(x) = 2ˣ, calcule f(0), f(3) e f(−2).
- f(0) = 2⁰ = 1.
- f(3) = 2³ = 8.
- f(−2) = 2⁻² = 1/4 = 0,25.
Resposta: f(0)=1, f(3)=8, f(−2)=0,25
Exercício 2. Resolva a equação 3ˣ = 81.
- Escreva 81 como potência de 3: 81 = 3⁴.
- 3ˣ = 3⁴ ⇒ x = 4.
Resposta: x = 4
Exercício 3. Classifique f(x) = (1/2)ˣ como crescente ou decrescente.
- Base = 1/2, ou seja, 0 < a < 1.
- Logo, a função é decrescente.
Resposta: Decrescente
Exercício 4. Uma população de bactérias dobra a cada hora. Se começa com 200, quantas serão em 5 h?
- Modelo exponencial: P(t) = 200 · 2ᵗ.
- P(5) = 200 · 2⁵ = 200 · 32 = 6.400.
Resposta: 6.400 bactérias
Exercício 5. Resolva 5ˣ⁺¹ = 125.
- 125 = 5³.
- 5ˣ⁺¹ = 5³ ⇒ x + 1 = 3 ⇒ x = 2.
Resposta: x = 2
Exercício 6. Um carro perde 20% do valor ao ano. Se custa R$ 50.000, quanto valerá em 3 anos?
- Como perde 20%, mantém 80%: V(t) = 50000 · (0,8)ᵗ.
- V(3) = 50000 · 0,8³ = 50000 · 0,512 = 25.600.
Resposta: R$ 25.600,00
Exercícios para praticar
Tente antes de revelar.
1. Calcule 4³.
2. Resolva 2ˣ = 32.
3. Se f(x) = 3ˣ, qual é f(−1)?
4. (1/3)ˣ é crescente ou decrescente?
5. Resolva 7ˣ = 1.
6. Uma cultura triplica a cada hora. Começando com 100, quantos haverá em 4 h?
7. Resolva 2ˣ⁻¹ = 16.
8. Um investimento rende 10% ao ano (juros compostos). R$ 1.000 em 3 anos?
9. Resolva 9ˣ = 27 (dica: base 3).
10. Domínio e imagem de f(x) = 2ˣ.
Ferramentas relacionadas
Perguntas frequentes
O que é uma função exponencial?
É toda função do tipo f(x) = aˣ, onde a base a > 0 e a ≠ 1. A variável está no expoente — daí o nome.
Por que a base não pode ser 1 ou 0?
Se a = 1, teríamos f(x) = 1 para todo x (uma constante). Se a ≤ 0, aparecem indefinições com expoentes fracionários ou negativos.
Quando é crescente ou decrescente?
Se a > 1, a função é crescente. Se 0 < a < 1, é decrescente. A reta y = 0 é uma assíntota horizontal em ambos os casos.
Qual o domínio e a imagem?
Domínio: todos os reais (ℝ). Imagem: apenas valores positivos (0, +∞). Ou seja, aˣ nunca é zero nem negativo.
Como resolver equações exponenciais?
Escreva os dois lados na mesma base. Se aˣ = aʸ, então x = y. Quando não dá, usa-se logaritmo (próximo módulo).
Onde a função exponencial aparece no dia a dia?
Em juros compostos, crescimento populacional, decaimento radioativo, depreciação de bens e modelos epidemiológicos.
Qual a diferença entre função exponencial e potência?
Em xⁿ a base varia e o expoente é fixo. Em aˣ a base é fixa e o expoente varia. O comportamento é totalmente diferente.
O que é o número e (de Euler)?
É uma constante irracional ≈ 2,71828. A função f(x) = eˣ é a exponencial natural, base de cálculos contínuos em finanças e ciência.
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