O que é a função quadrática?
A função quadrática (ou função do 2º grau) é toda função do tipo:
f(x) = ax² + bx + c, com a ≠ 0
O gráfico é sempre uma parábola. O coeficiente a define a concavidade, b e c influenciam a posição da curva no plano cartesiano.
Concavidade da parábola
| Coeficiente a | Concavidade | Vértice |
|---|---|---|
| a > 0 | Para cima 🙂 | Ponto de mínimo |
| a < 0 | Para baixo 🙁 | Ponto de máximo |
Raízes e o discriminante (Δ)
As raízes da função são os valores de x para os quais f(x) = 0. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Δ = b² − 4ac e x = (−b ± √Δ) / 2a
- Δ > 0: duas raízes reais distintas — a parábola corta o eixo x em 2 pontos.
- Δ = 0: uma raiz real (dupla) — a parábola apenas toca o eixo x.
- Δ < 0: nenhuma raiz real — a parábola não cruza o eixo x.
Vértice da parábola
O vértice V(xv, yv) é o ponto extremo da parábola (máximo ou mínimo):
xv = −b / 2a e yv = −Δ / 4a
A reta vertical x = xv é o eixo de simetria da parábola.
Relações de Girard
Permitem encontrar a soma e o produto das raízes sem resolver Bhaskara:
Soma = −b/a · Produto = c/a
Aplicações no dia a dia
- Lançamento de projéteis: trajetória de uma bola, foguete ou jato d'água.
- Otimização de área: maior área retangular com um perímetro fixo.
- Lucro máximo: determinar o preço que maximiza o lucro de um produto.
- Engenharia: forma de antenas parabólicas, faróis de carro e pontes.
Dica de prova: antes de aplicar Bhaskara, calcule Δ. Se Δ < 0, pare — não há raiz real. Se a equação for fatorável (ex.: x² − 5x + 6), tente Girard antes.
Exercícios resolvidos
Acompanhe o passo a passo de 6 questões.
Exercício 1. Dada f(x) = x² − 5x + 6, calcule f(2).
- f(2) = 2² − 5·2 + 6 = 4 − 10 + 6 = 0.
Resposta: f(2) = 0 (logo, x = 2 é raiz)
Exercício 2. Encontre as raízes de f(x) = x² − 7x + 10.
- Δ = b² − 4ac = (−7)² − 4·1·10 = 49 − 40 = 9.
- x = (7 ± √9) / 2 = (7 ± 3) / 2.
- x₁ = 5 e x₂ = 2.
Resposta: x = 2 ou x = 5
Exercício 3. Determine o vértice de f(x) = x² − 4x + 3.
- xv = −b/2a = −(−4)/(2·1) = 2.
- yv = f(2) = 4 − 8 + 3 = −1.
- Vértice: V(2, −1) — ponto de mínimo (a > 0).
Resposta: V(2, −1), mínimo
Exercício 4. A parábola f(x) = −x² + 6x − 5 tem concavidade para cima ou para baixo? Qual o valor máximo?
- a = −1 < 0 ⇒ concavidade para baixo.
- xv = −6/(2·−1) = 3 ⇒ yv = −9 + 18 − 5 = 4.
- Valor máximo = 4, alcançado em x = 3.
Resposta: Para baixo; máximo = 4 em x = 3
Exercício 5. Quantas raízes reais tem f(x) = x² + 2x + 5?
- Δ = 4 − 20 = −16 < 0 ⇒ nenhuma raiz real.
Resposta: Nenhuma raiz real
Exercício 6. Uma bola é lançada e sua altura segue h(t) = −5t² + 20t. Em quanto tempo atinge a altura máxima?
- tv = −b/2a = −20/(2·−5) = 2 s.
- Altura máxima: h(2) = −20 + 40 = 20 m.
Resposta: t = 2 s, altura máxima 20 m
Exercícios para praticar
Tente antes de revelar.
1. Calcule f(−1) para f(x) = 2x² + 3x − 1.
2. Raízes de x² − 9 = 0.
3. Raízes de x² − 6x + 9.
4. Qual o Δ de f(x) = x² + 4x + 4?
5. Vértice de f(x) = x² + 2x − 3.
6. f(x) = −2x² + 8x. Valor máximo?
7. Para que valores de x a função f(x) = x² − 4 é positiva?
8. Soma e produto das raízes de x² − 5x + 6.
9. Eixo de simetria de f(x) = x² − 8x + 1.
10. Quantas raízes reais tem f(x) = 3x² − 12x + 12?
Ferramentas relacionadas
Perguntas frequentes
O que é uma função quadrática?
É toda função do tipo f(x) = ax² + bx + c, com a ≠ 0. O gráfico é sempre uma parábola.
Como saber a concavidade da parábola?
Olhe o sinal de a. Se a > 0, concavidade para cima (tem mínimo). Se a < 0, para baixo (tem máximo).
O que é o discriminante (Δ)?
Δ = b² − 4ac. Se Δ > 0, há 2 raízes reais distintas. Δ = 0, uma raiz dupla. Δ < 0, nenhuma raiz real.
Como calcular as raízes?
Use Bhaskara: x = (−b ± √Δ) / 2a. Esses são os pontos onde a parábola cruza o eixo x.
O que é o vértice da parábola?
É o ponto de máximo (a < 0) ou mínimo (a > 0). Coordenadas: xv = −b/2a e yv = −Δ/4a.
Função quadrática cai no ENEM?
Muito. Aparece em problemas de lançamento de projéteis, otimização de lucro/área e estudo de gráficos.
Qual a relação com a equação do 2º grau?
Resolver f(x) = 0 numa função quadrática equivale a resolver a equação do 2º grau ax² + bx + c = 0.
O que são as relações de Girard?
Soma das raízes = −b/a; produto das raízes = c/a. Úteis para encontrar raízes sem usar Bhaskara em casos simples.
Finalizou o Módulo 3?
Marque como concluído e siga adiante.