O que é um logaritmo?
O logaritmo é simplesmente a operação inversa da potência. A definição formal é:
logₐ b = c ⟺ aᶜ = b (com a > 0, a ≠ 1 e b > 0)
Lendo em voz alta: "log na base a de b é o expoente c ao qual a deve ser elevado para resultar em b".
Propriedades essenciais
| Propriedade | Fórmula |
|---|---|
| Produto | log(a·b) = log a + log b |
| Quociente | log(a/b) = log a − log b |
| Potência | log(aⁿ) = n · log a |
| Log da base | logₐ a = 1 |
| Log de 1 | logₐ 1 = 0 |
| Mudança de base | logₐ b = log b / log a |
Log decimal e log natural
- log x (sem indicar a base) → base 10. Ex.: log 1000 = 3.
- ln x → base e ≈ 2,71828. Usado em cálculo, física e juros contínuos.
- Calculadoras científicas trazem só essas duas teclas — use mudança de base para outras.
Gráfico e comportamento
- Domínio: x > 0 (apenas positivos).
- Imagem: todos os reais (ℝ).
- Assíntota vertical: a reta x = 0 (eixo y).
- Passa por (1, 0): pois logₐ 1 = 0 para qualquer base.
- Se a > 1 a função é crescente; se 0 < a < 1, decrescente.
Logaritmo na prática
- pH: pH = −log[H⁺]. Escala química baseada em logaritmo.
- Decibéis: intensidade sonora medida em escala log (10·log₁₀).
- Escala Richter: magnitude de terremotos. Cada ponto = 10× mais energia.
- Juros compostos: descobrir em quantos meses um capital dobra usa log.
- Crescimento populacional: tempo necessário para atingir uma meta.
Dica de prova: sempre que aparecer uma equação exponencial onde não dá para igualar as bases (ex.: 2ˣ = 7), aplique log dos dois lados. A propriedade log(aⁿ) = n·log a faz o expoente "descer" e a equação vira do 1º grau.
Exercícios resolvidos
Acompanhe o passo a passo de 6 questões.
Exercício 1. Calcule log₂ 8.
- Pergunte: 2 elevado a quanto dá 8?
- 2³ = 8, logo log₂ 8 = 3.
Resposta: 3
Exercício 2. Calcule log₁₀ 1000.
- 10? = 1000 ⇒ 10³ = 1000.
- Logo, log 1000 = 3 (quando a base é 10, costuma-se omitir).
Resposta: 3
Exercício 3. Resolva log₅ x = 2.
- Pela definição: x = 5².
- x = 25.
Resposta: x = 25
Exercício 4. Usando propriedades, calcule log₂ 4 + log₂ 8.
- log₂ 4 = 2 e log₂ 8 = 3.
- Soma: 2 + 3 = 5. (Ou aplique log(a·b) = log a + log b: log₂(4·8) = log₂ 32 = 5.)
Resposta: 5
Exercício 5. Resolva 2ˣ = 10 usando logaritmo.
- Aplique log dos dois lados: log(2ˣ) = log 10.
- Pela propriedade: x·log 2 = 1.
- x = 1 / log 2 ≈ 1 / 0,301 ≈ 3,32.
Resposta: x ≈ 3,32
Exercício 6. Simplifique log₃ 81 − log₃ 9.
- log₃ 81 = 4 (pois 3⁴ = 81) e log₃ 9 = 2.
- Resultado: 4 − 2 = 2. (Ou log₃(81/9) = log₃ 9 = 2.)
Resposta: 2
Exercícios para praticar
Tente antes de revelar.
1. Calcule log₂ 16.
2. Calcule log 100.
3. Resolva log₃ x = 4.
4. Calcule log₅ 1.
5. Calcule log₇ 7.
6. Simplifique log₂ 32 − log₂ 4.
7. Resolva 3ˣ = 81 com log.
8. Aplique log(a²): qual o equivalente?
9. Calcule log₂ (1/8).
10. Domínio de f(x) = log x.
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Perguntas frequentes
O que é um logaritmo?
Logaritmo é a operação inversa da potenciação. logₐ b = c significa exatamente que aᶜ = b. Em palavras: 'a qual expoente devo elevar a base a para obter b?'.
Quais as restrições de logₐ b?
A base deve ser positiva e diferente de 1 (a > 0 e a ≠ 1), e o número (logaritmando) precisa ser positivo (b > 0). Não existe log de número negativo nem de zero.
O que é log natural (ln)?
É o logaritmo na base e ≈ 2,71828. Escrevemos ln x em vez de logₑ x. É o mais usado em cálculo, física e finanças contínuas.
Quais são as principais propriedades?
log(a·b) = log a + log b; log(a/b) = log a − log b; log(aⁿ) = n·log a; log_a a = 1; log_a 1 = 0.
Como mudar de base?
logₐ b = log b / log a (em qualquer base nova). Útil para usar a calculadora, que só tem log decimal (base 10) e ln (base e).
Para que serve o logaritmo no dia a dia?
Mede grandezas que crescem ou variam em escala muito grande: pH (química), decibéis (som), magnitude de terremotos (Richter), brilho de estrelas e tempo em juros compostos.
Qual a relação com a função exponencial?
São funções inversas. Se f(x) = aˣ, então f⁻¹(x) = logₐ x. Os gráficos são reflexos um do outro pela reta y = x.
Como saber se a função logarítmica é crescente ou decrescente?
Se a base a > 1, é crescente. Se 0 < a < 1, é decrescente. O comportamento espelha o da exponencial correspondente.
Finalizou o Módulo 5?
Marque como concluído e siga adiante.