O triângulo retângulo
É todo triângulo que possui um ângulo de 90°. Os lados ganham nomes especiais:
- Hipotenusa: o maior lado, oposto ao ângulo reto.
- Catetos: os outros dois lados, que formam o ângulo de 90°.
- Em relação a um ângulo agudo θ: cateto oposto (na frente) e cateto adjacente (ao lado).
Teorema de Pitágoras
a² = b² + c²
a = hipotenusa; b, c = catetos.
Esse teorema permite calcular qualquer lado se os outros dois forem conhecidos. É o ponto de partida de quase todo exercício de trigonometria no triângulo retângulo.
Seno, cosseno e tangente
| Razão | Fórmula |
|---|---|
| sen θ | cateto oposto / hipotenusa |
| cos θ | cateto adjacente / hipotenusa |
| tg θ | cateto oposto / cateto adjacente |
Mnemônico clássico: SOH-CAH-TOA (Sen = Oposto/Hipotenusa; Cos = Adjacente/Hipotenusa; Tg = Oposto/Adjacente).
Tabela dos ângulos notáveis
| Ângulo | sen | cos | tg |
|---|---|---|---|
| 30° | 1/2 | √3/2 | √3/3 |
| 45° | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 |
Identidade fundamental
sen²θ + cos²θ = 1
Vale para qualquer ângulo θ. Permite calcular cos a partir de sen (ou vice-versa) sem precisar de calculadora.
Dica de prova: ao ler o enunciado, faça um desenho do triângulo e marque o ângulo pedido. Identifique quem é oposto, adjacente e hipotenusa. 80% dos erros vêm de confundir esses lados.
Exercícios resolvidos
Acompanhe o passo a passo de 6 questões.
Exercício 1. Em um triângulo retângulo, os catetos medem 3 e 4. Qual a hipotenusa?
- Teorema de Pitágoras: a² = b² + c².
- a² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25.
- a = √25 = 5.
Resposta: 5
Exercício 2. Num triângulo retângulo, o ângulo θ tem cateto oposto 6 e hipotenusa 10. Calcule sen θ.
- sen θ = cateto oposto / hipotenusa.
- sen θ = 6 / 10 = 0,6.
Resposta: 0,6
Exercício 3. Se cos θ = 0,8 e a hipotenusa mede 10, qual o cateto adjacente?
- cos θ = cateto adjacente / hipotenusa.
- 0,8 = cat. adj. / 10 ⇒ cat. adj. = 8.
Resposta: 8
Exercício 4. Calcule tg 45°.
- tg 45° = sen 45° / cos 45° = (√2/2) / (√2/2).
- = 1.
Resposta: 1
Exercício 5. Uma escada de 5 m apoia-se na parede formando 60° com o chão. A que altura ela chega?
- Altura = lado oposto a 60°. Use sen 60° = altura / 5.
- sen 60° = √3/2 ≈ 0,866.
- altura = 5 · 0,866 ≈ 4,33 m.
Resposta: ≈ 4,33 m
Exercício 6. Uma rampa tem 12 m de extensão e 3 m de altura. Qual o seno do ângulo de inclinação?
- sen θ = oposto / hipotenusa = 3 / 12 = 0,25.
Resposta: sen θ = 0,25
Exercícios para praticar
Tente antes de revelar.
1. Catetos 5 e 12. Calcule a hipotenusa.
2. Calcule sen 30°.
3. Calcule cos 60°.
4. Calcule tg 30°.
5. Se sen θ = 0,8 e hipotenusa = 20, o cateto oposto vale?
6. Se cos θ = 0,6 e hipotenusa = 25, o cateto adjacente vale?
7. Calcule sen 45°.
8. Uma rampa de 10 m sobe 5 m. Qual o seno?
9. Num triângulo retângulo com catetos 8 e 6, qual a tangente do ângulo oposto a 8?
10. Qual a soma sen²30° + cos²30°?
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Perguntas frequentes
O que é trigonometria?
É o ramo da matemática que estuda as relações entre ângulos e lados de triângulos. No ensino médio começa pelo triângulo retângulo (com um ângulo de 90°).
Quais são as razões trigonométricas básicas?
Seno (sen) = oposto/hipotenusa; Cosseno (cos) = adjacente/hipotenusa; Tangente (tg) = oposto/adjacente. Use o mnemônico SOH-CAH-TOA.
O que é o Teorema de Pitágoras?
Em todo triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos: a² = b² + c². É o primeiro passo de quase todo problema.
Quais os ângulos notáveis?
30°, 45° e 60°. Seus valores caem em quase toda prova: sen 30° = 1/2, cos 30° = √3/2, tg 30° = √3/3; sen 45° = cos 45° = √2/2, tg 45° = 1; sen 60° = √3/2, cos 60° = 1/2, tg 60° = √3.
O que é a identidade fundamental?
sen²θ + cos²θ = 1, válida para qualquer ângulo. Permite calcular um valor a partir do outro.
Qual a diferença entre cateto oposto e adjacente?
Depende do ângulo que você está olhando. O cateto oposto é o que fica 'na frente' do ângulo; o adjacente é o que forma o ângulo com a hipotenusa.
Onde a trigonometria é usada?
Engenharia (rampas, telhados), arquitetura, topografia, navegação (GPS), física (forças, ondas) e até em computação gráfica e jogos.
Preciso decorar todos os valores?
Decore os ângulos notáveis (30°, 45°, 60°). Para os demais, use calculadora científica. O importante é entender as razões e quando aplicar cada uma.
Finalizou o Módulo 6?
Marque como concluído e siga adiante.