Resposta rápida
Qual é a fórmula da Progressão Aritmética?
👉 Termo geral: aₙ = a₁ + (n − 1) · r. Soma: Sₙ = n · (a₁ + aₙ) / 2. Onde a₁ é o primeiro termo, r a razão e n a posição.
O que é uma Progressão Aritmética?
Uma Progressão Aritmética (PA) é uma sequência de números em que a diferença entre cada termo e o anterior é sempre a mesma. Essa diferença fixa é chamada de razão e costuma ser representada pela letra r.
Em uma PA, o crescimento (ou decrescimento) é constante e linear: somamos sempre a mesma quantidade para passar de um termo ao próximo. Exemplos simples: 2, 4, 6, 8 (razão 2) ou 100, 90, 80, 70 (razão −10).
a₁ = 2, r = 3
→ 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20…
(cada termo = anterior + 3)
Aplicações reais
Onde usamos PA no dia a dia?
A PA aparece sempre que algo cresce ou diminui em quantidade fixa — situação muito comum em finanças, planejamento e estatística.
Finanças e economia
- • Aumento salarial fixo todo ano.
- • Depósitos mensais constantes em uma poupança.
- • Parcelas iguais em compras à vista parceladas.
- • Metas de economia crescendo em valores fixos.
Estudo e dia a dia
- • Numeração de páginas, casas e andares.
- • Crescimento linear em estatística.
- • Sequências de exercícios ou treinos progressivos.
- • Cronogramas de estudo com aumento gradual de carga.
Como calcular PA passo a passo
Saber identificar a₁, r e n já resolve quase tudo. O resto é aplicar as duas fórmulas centrais.
1. Encontre a razão (r)
Pegue qualquer termo e subtraia o anterior: r = a₂ − a₁. Se a diferença não for sempre igual, não é PA.
2. Identifique a₁ e n
a₁ é o primeiro termo e n é a posição do termo procurado (1º, 2º, 3º…).
3. Aplique o termo geral
aₙ = a₁ + (n − 1) · r encontra qualquer termo sem listar todos os anteriores.
4. Calcule a soma
Use Sₙ = n · (a₁ + aₙ) / 2 quando precisar somar os n primeiros termos.
5. Confira o resultado
Subtraia dois termos consecutivos quaisquer: o resultado deve ser sempre r.
Erros comuns ao resolver PA
A maior parte dos erros não está na fórmula — está em pequenos descuidos com posição, sinal e contagem dos termos.
- 1Calcular a razão como a₁ − a₂ em vez de a₂ − a₁ (e errar o sinal).
- 2Esquecer o (n − 1) no termo geral e usar apenas n · r — isso desloca todos os termos.
- 3Confundir 'quantidade de termos' com 'posição do último termo' em problemas que começam fora de a₁.
- 4Usar a fórmula da soma sem antes calcular aₙ — é preciso saber o último termo.
- 5Trocar PA com PG: somar a razão (PA) é diferente de multiplicar pela razão (PG).
- 6Em PA decrescente, esquecer que r é negativo e somar como se fosse positivo.
Quando usar PA? (e como diferenciar de PG)
Identificar o tipo de sequência antes de resolver economiza tempo e evita erro grave de fórmula.
Use PA quando…
- • A diferença entre termos é sempre a mesma.
- • O problema fala em aumento ou redução fixa.
- • Há crescimento linear (em linha reta).
- • Ex.: salário sobe R$ 150 por ano.
Use PG quando…
- • Cada termo é o anterior multiplicado por um valor.
- • O problema fala em percentual ou taxa.
- • Há crescimento exponencial.
- • Ex.: investimento rende 5% ao mês.
Para situações com variação percentual, use a calculadora de porcentagem ou a calculadora de juros compostos.
Exemplo contextualizado
Vamos sair da fórmula crua e aplicar em uma situação real — daquelas que aparecem em prova e na vida.
Situação
Um trabalhador ganha hoje R$ 2.500 e recebe um aumento fixo de R$ 150 por ano. Quanto ele ganhará daqui a 10 anos? E quanto recebeu ao todo nesses 10 anos?
Por que PA?
Porque o aumento é fixo em reais (não em percentual). Esse é o padrão de crescimento linear, exatamente o que a PA descreve.
Resolução
- a₁ = 2500, r = 150, n = 10.
- a₁₀ = 2500 + (10 − 1) · 150 = 2500 + 1350 = R$ 3.850.
- S₁₀ = 10 · (2500 + 3850) / 2 = 10 · 3175 = R$ 31.750.
Interpretação
Daqui a 10 anos ele ganhará R$ 3.850 por ano e terá recebido R$ 31.750 ao todo (somando todos os anos). Se o aumento fosse percentual, usaríamos PG — e o total cresceria mais rápido.
Representação visual
Uma forma simples de enxergar como o termo geral funciona.
a₁ = 2
a₂ = 2 + 1·3 = 5
a₃ = 2 + 2·3 = 8
a₄ = 2 + 3·3 = 11
─────────
aₙ = a₁ + (n − 1)·r = 2 + (n − 1)·3
Repare que a posição n aparece sempre como (n − 1) multiplicando a razão. É esse detalhe que faz a fórmula funcionar para qualquer termo.
Continue aprendendo matemática
PA é a porta de entrada para sequências, séries e somatórios. Continue explorando o cluster de matemática do SóCalculadora.
Somatório
Notação sigma e soma de sequências numéricas.
Bhaskara
Equações do 2º grau com passo a passo.
Equação do 1º Grau
Resolva x com isolamento da incógnita.
Porcentagem
Aumentos, descontos e variações percentuais.
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Perguntas frequentes
O que é uma Progressão Aritmética (PA)?
Qual é a fórmula do termo geral da PA?
Como calcular a soma dos termos de uma PA?
Como descobrir a razão de uma PA?
Qual a diferença entre PA e PG?
A razão de uma PA pode ser negativa?
Onde a PA aparece no dia a dia?
Metodologia
A calculadora aplica as fórmulas clássicas da PA — termo geral aₙ = a₁ + (n − 1)·r e soma Sₙ = n · (a₁ + aₙ) / 2 — e exibe a sequência e o passo a passo automaticamente. Conteúdo revisado pela equipe editorial. Veja a política editorial.
Última revisão: Junho de 2026