O que é MMC?
O Mínimo Múltiplo Comum (MMC) é o menor número, diferente de zero, que é múltiplo de dois ou mais números ao mesmo tempo. Pense em quando dois eventos vão coincidir pela primeira vez.
Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24…
Múltiplos de 6: 6, 12, 18, 24…
O primeiro múltiplo em comum é o 12 ⇒ MMC(4, 6) = 12.
O que é MDC?
O Máximo Divisor Comum (MDC) é o maior número que divide dois ou mais números sem deixar resto. É a maior parte inteira que “cabe” em todos.
Divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12
Divisores de 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18
O maior divisor em comum é o 6 ⇒ MDC(12, 18) = 6.
Como calcular pela fatoração em primos
A forma mais segura de calcular MMC e MDC de qualquer quantidade de números é decompor cada um em fatores primos:
| Operação | Como escolher os primos | Exemplo |
|---|---|---|
| MMC | Todos os primos que aparecem, com o MAIOR expoente | 2² · 3² = 36 |
| MDC | Só os primos COMUNS a todos, com o MENOR expoente | 2 · 3 = 6 |
12 = 2² · 3
18 = 2 · 3²
MMC = 2² · 3² = 36
MDC = 2 · 3 = 6
Quando usar cada um
Use MMC
- Sincronizar eventos que se repetem (ônibus, sinais, lâmpadas)
- Somar e subtrair frações com denominadores diferentes
- Encontrar o menor ciclo comum
Use MDC
- Simplificar frações até a forma irredutível
- Dividir quantidades em grupos iguais do MAIOR tamanho possível
- Cortar peças em pedaços iguais e maiores
Propriedade útil
Para dois números a e b, vale a relação:
Ex.: 12 × 18 = 216 e MMC(12,18) × MDC(12,18) = 36 × 6 = 216. ✓
Dica de prova: leu “ao mesmo tempo”, “juntos novamente” ou “somar frações”? É MMC. Leu “maior parte igual”, “simplificar fração” ou “maior grupo”? É MDC.
Exercícios resolvidos
Acompanhe o raciocínio passo a passo de 8 exercícios.
Exercício 1. Calcule o MMC de 12 e 18.
- Fatoramos cada número em primos: 12 = 2² · 3 e 18 = 2 · 3².
- Para o MMC, pegamos cada primo com o MAIOR expoente: 2² e 3².
- MMC = 2² · 3² = 4 · 9 = 36.
Resposta: MMC(12, 18) = 36
Exercício 2. Calcule o MDC de 12 e 18.
- Mesma fatoração: 12 = 2² · 3 e 18 = 2 · 3².
- Para o MDC, pegamos apenas os primos COMUNS com o MENOR expoente: 2¹ e 3¹.
- MDC = 2 · 3 = 6.
Resposta: MDC(12, 18) = 6
Exercício 3. Calcule o MMC de 20, 30 e 40.
- 20 = 2² · 5; 30 = 2 · 3 · 5; 40 = 2³ · 5.
- Maiores expoentes: 2³, 3¹ e 5¹.
- MMC = 8 · 3 · 5 = 120.
Resposta: MMC(20, 30, 40) = 120
Exercício 4. Calcule o MDC de 20, 30 e 40.
- 20 = 2² · 5; 30 = 2 · 3 · 5; 40 = 2³ · 5.
- Primos comuns aos três: 2 e 5. Menores expoentes: 2¹ e 5¹.
- MDC = 2 · 5 = 10.
Resposta: MDC(20, 30, 40) = 10
Exercício 5. Dois ônibus partem juntos. Um passa a cada 15 min e outro a cada 25 min. Quando voltam a sair juntos?
- É um problema clássico de MMC: queremos o menor tempo múltiplo dos dois.
- 15 = 3 · 5 e 25 = 5². MMC = 3 · 5² = 75.
- Eles voltam a sair juntos em 75 minutos.
Resposta: 75 minutos (1h15min)
Exercício 6. Quero cortar fitas de 24 cm e 36 cm em pedaços iguais e do maior tamanho possível. Qual o tamanho de cada pedaço?
- Pedaços iguais e do MAIOR tamanho ⇒ usamos MDC.
- 24 = 2³ · 3 e 36 = 2² · 3². Comuns: 2² e 3.
- MDC = 4 · 3 = 12. Cada pedaço terá 12 cm.
Resposta: 12 cm
Exercício 7. Simplifique a fração 18/24 usando o MDC.
- MDC(18, 24): 18 = 2 · 3² e 24 = 2³ · 3 ⇒ MDC = 2 · 3 = 6.
- Dividimos numerador e denominador por 6: 18 ÷ 6 = 3 e 24 ÷ 6 = 4.
- Fração simplificada: 3/4.
Resposta: 3/4
Exercício 8. Some 1/6 + 1/8 usando o MMC.
- Para somar frações com denominadores diferentes, achamos o MMC dos denominadores.
- MMC(6, 8) = 24. Convertendo: 1/6 = 4/24 e 1/8 = 3/24.
- Soma: 4/24 + 3/24 = 7/24.
Resposta: 7/24
Exercícios para praticar
Tente resolver antes de revelar a resposta.
1. MMC(8, 12).
2. MDC(8, 12).
3. MMC(6, 9).
4. MDC(45, 60).
5. MMC(4, 5, 6).
6. MDC(36, 48).
7. Simplifique 28/42 (use o MDC).
8. Some 1/4 + 1/6 (use o MMC dos denominadores).
9. Duas lâmpadas piscam: uma a cada 12s e outra a cada 18s. Em quanto tempo piscam juntas?
10. MDC(100, 75).
Ferramentas relacionadas
Perguntas frequentes
O que é MMC?
MMC (Mínimo Múltiplo Comum) é o menor número, diferente de zero, que é múltiplo de dois ou mais números ao mesmo tempo. Ex.: MMC(4, 6) = 12.
O que é MDC?
MDC (Máximo Divisor Comum) é o maior número que divide dois ou mais números sem deixar resto. Ex.: MDC(12, 18) = 6.
Qual a diferença entre MMC e MDC?
MMC procura o menor múltiplo em comum (resultado costuma ser maior que os números). MDC procura o maior divisor em comum (resultado costuma ser menor ou igual ao menor dos números).
Quando usar MMC e quando usar MDC?
Use MMC quando quiser sincronizar eventos que se repetem em períodos diferentes ou somar frações de denominadores distintos. Use MDC para simplificar frações ou repartir quantidades em grupos iguais e do maior tamanho possível.
Como calcular MMC pela fatoração em primos?
Fatore cada número em primos, depois multiplique todos os primos que aparecem, sempre com o MAIOR expoente. Ex.: 12 = 2²·3 e 18 = 2·3² ⇒ MMC = 2²·3² = 36.
Como calcular MDC pela fatoração em primos?
Fatore cada número, identifique os primos que aparecem em TODOS e multiplique-os com o MENOR expoente. Ex.: 12 = 2²·3 e 18 = 2·3² ⇒ MDC = 2·3 = 6.
Existe relação entre MMC e MDC?
Sim. Para dois números a e b vale: MMC(a, b) · MDC(a, b) = a · b. Isso é útil para conferir resultados.
MDC pode ser 1?
Sim. Quando o MDC é 1, dizemos que os números são primos entre si — não têm fatores primos em comum. Ex.: MDC(8, 9) = 1.
Finalizou o Módulo 6?
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