O que é o ciclo trigonométrico?
É uma circunferência de raio 1 centrada na origem do plano cartesiano. Cada ponto do ciclo corresponde a um ângulo θ, e suas coordenadas valem (cos θ, sen θ). Isso generaliza as funções trigonométricas para qualquer ângulo — positivos, negativos ou maiores que 360°.
Graus e radianos
π rad = 180°
Para converter: graus → rad multiplique por π/180. Rad → graus multiplique por 180/π.
| Graus | Radianos |
|---|---|
| 30° | π/6 |
| 45° | π/4 |
| 60° | π/3 |
| 90° | π/2 |
| 180° | π |
| 270° | 3π/2 |
| 360° | 2π |
Quadrantes e sinais
| Quadrante | Intervalo | sen | cos | tg |
|---|---|---|---|---|
| 1º | 0°–90° | + | + | + |
| 2º | 90°–180° | + | − | − |
| 3º | 180°–270° | − | − | + |
| 4º | 270°–360° | − | + | − |
Arco reduzido
Para calcular o seno ou cosseno de um ângulo qualquer, reduza-o ao 1º quadrante:
- 2º quadrante: arco = 180° − θ
- 3º quadrante: arco = θ − 180°
- 4º quadrante: arco = 360° − θ
Em seguida, aplique o valor da tabela de notáveis e ajuste o sinal pelo quadrante.
Arcos côngruos
α = θ + k · 360° (k ∈ ℤ)
São arcos que terminam no mesmo ponto do ciclo. Ex.: 30°, 390°, 750° e −330° são todos côngruos — possuem o mesmo seno, cosseno e tangente.
Dica: sempre desenhe o ciclo e marque o quadrante do ângulo antes de calcular. Isso evita erros de sinal — o erro mais comum em provas de trigonometria.
Exercícios resolvidos
Acompanhe o passo a passo de 6 questões.
Exercício 1. Converta 180° para radianos.
- Use a relação 180° = π rad.
- Logo, 180° = π ≈ 3,1416 rad.
Resposta: π rad
Exercício 2. Converta π/3 rad para graus.
- Como π rad = 180°, então π/3 = 180°/3 = 60°.
Resposta: 60°
Exercício 3. Em que quadrante está o ângulo de 210°?
- 210° está entre 180° e 270°.
- Logo, pertence ao 3º quadrante.
Resposta: 3º quadrante
Exercício 4. Calcule sen 150°.
- 150° está no 2º quadrante (seno positivo).
- Arco reduzido: 180° − 150° = 30°.
- sen 150° = sen 30° = 1/2.
Resposta: 1/2
Exercício 5. Calcule cos 240°.
- 240° está no 3º quadrante (cosseno negativo).
- Arco reduzido: 240° − 180° = 60°.
- cos 240° = −cos 60° = −1/2.
Resposta: −1/2
Exercício 6. Calcule tg 315°.
- 315° está no 4º quadrante (tangente negativa).
- Arco reduzido: 360° − 315° = 45°.
- tg 315° = −tg 45° = −1.
Resposta: −1
Exercícios para praticar
Tente antes de revelar.
1. Converta 90° em radianos.
2. Converta 270° em radianos.
3. Converta π/4 em graus.
4. Em que quadrante está 120°?
5. Em que quadrante está 300°?
6. Calcule sen 180°.
7. Calcule cos 90°.
8. Calcule sen 270°.
9. Calcule cos 360°.
10. Calcule tg 135°.
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Perguntas frequentes
O que é o ciclo trigonométrico?
É uma circunferência de raio 1 centrada na origem, usada para definir as funções trigonométricas (sen, cos, tg) para qualquer ângulo, e não apenas para ângulos agudos do triângulo retângulo.
O que são radianos?
Radiano é uma unidade de medida de ângulo baseada no comprimento do arco. 1 rad ≈ 57,3°. A relação fundamental é π rad = 180°.
Quais são os 4 quadrantes e seus sinais?
1º (0°-90°): sen +, cos +, tg +. 2º (90°-180°): sen +, cos −, tg −. 3º (180°-270°): sen −, cos −, tg +. 4º (270°-360°): sen −, cos +, tg −.
O que é arco reduzido?
É o ângulo agudo correspondente, no 1º quadrante, que tem o mesmo valor absoluto de seno/cosseno do ângulo original. Permite reduzir qualquer cálculo aos ângulos notáveis (30°, 45°, 60°).
Para que servem as funções circulares?
Para modelar fenômenos periódicos como ondas sonoras, sinais elétricos, marés, batimentos cardíacos e movimentos oscilatórios.
Como funciona o ciclo no sentido negativo?
Ângulos no sentido horário são considerados negativos. Ex.: −30° equivale a 330°. Some 360° para obter o positivo equivalente.
O que são arcos côngruos?
Arcos que terminam no mesmo ponto do ciclo, diferindo por múltiplos de 360°. Ex.: 30° e 390° são côngruos.
Como decorar a tabela de sinais?
Use a regra: sen segue o eixo y (positivo acima), cos segue o eixo x (positivo à direita), tg é positivo onde sen e cos têm o mesmo sinal (1º e 3º quadrantes).
Finalizou o Módulo 7?
Marque como concluído e siga adiante.