Como Resolver Equação do 2º Grau Passo a Passo

O que é uma equação do 2º grau

Uma equação do 2º grau é toda equação que pode ser escrita assim:

Os números a, b e c são chamados de coeficientes. A única condição importante é que a ≠ 0 — se fosse zero, o termo x² desapareceria e a equação seria do 1º grau.

Resolver essa equação significa encontrar os valores de x que tornam a igualdade verdadeira. Esses valores são chamados de raízes.

Identificando os coeficientes

Antes de qualquer cálculo, organize a equação e separe os três coeficientes. Veja exemplos:

• x² − 5x + 6 = 0 → a = 1, b = −5, c = 6.
• 2x² + 3x − 5 = 0 → a = 2, b = 3, c = −5.
• −x² + 4x = 0 → a = −1, b = 4, c = 0.
• x² − 9 = 0 → a = 1, b = 0, c = −9.

Dica: se a equação aparecer fora da ordem (ex.: 6 = 5x − x²), primeiro reorganize para a forma ax² + bx + c = 0 antes de extrair os coeficientes.

Calculando o Delta

O delta (representado pela letra grega Δ) é o coração da resolução. Ele é chamado de discriminante porque indica quantas raízes reais a equação possui.

• Δ > 0: duas raízes reais distintas.
• Δ = 0: uma única raiz real (raiz dupla).
• Δ < 0: nenhuma raiz real (raízes complexas).

Se quiser aprofundar, leia também o que é Delta na fórmula de Bhaskara.

A fórmula de Bhaskara

Com o delta calculado, basta aplicar a fórmula resolutiva:

O símbolo ± significa que você obtém duas respostas: uma somando a raiz quadrada do delta e outra subtraindo. São as suas raízes x₁ e x₂.

Exemplo fácil: x² − 5x + 6 = 0

1. Coeficientes: a = 1, b = −5, c = 6.
2. Delta: Δ = (−5)² − 4·1·6 = 25 − 24 = 1.
3. Como Δ > 0, teremos duas raízes reais.
4. x = ( 5 ± √1 ) / 2 = ( 5 ± 1 ) / 2.
5. x₁ = 3 e x₂ = 2.

Conferindo: 3² − 5·3 + 6 = 9 − 15 + 6 = 0 ✅ e 2² − 5·2 + 6 = 0 ✅.

Exemplo médio: 2x² − 4x − 6 = 0

1. Coeficientes: a = 2, b = −4, c = −6.
2. Delta: Δ = (−4)² − 4·2·(−6) = 16 + 48 = 64.
3. √64 = 8.
4. x = ( 4 ± 8 ) / 4.
5. x₁ = 3 e x₂ = −1.

Exemplo difícil: 3x² + 2x + 5 = 0

1. Coeficientes: a = 3, b = 2, c = 5.
2. Delta: Δ = 2² − 4·3·5 = 4 − 60 = −56.
3. Como Δ < 0, não há raízes reais.
4. As raízes pertencem ao conjunto dos números complexos: x = (−2 ± √−56) / 6 = (−1 ± √14·i) / 3.

Em provas do ensino médio, a resposta esperada nesse caso é simplesmente: "não existem raízes reais".

Erros comuns ao resolver

• Esquecer o sinal de b. Em x² − 5x + 6, b = −5, não 5. O sinal entra no quadrado normalmente (b² fica positivo), mas no −b ele inverte.
• Errar a ordem das operações no delta. Sempre calcule primeiro b² e 4ac separadamente, depois subtraia.
• Trocar 2a por 2. O denominador da fórmula é 2·a, não apenas 2.
• Não verificar a resposta. Substituir x na equação original é o jeito mais simples de pegar erros.
• Confundir raiz com solução de inequação. Bhaskara resolve equações; para inequações você precisa estudar o sinal da função.

Quando a equação aparece no dia a dia

Equações do 2º grau aparecem em física (lançamento oblíquo, queda livre), em engenharia (área e otimização), em finanças (ponto de equilíbrio) e até em problemas simples de área de terreno. Por isso vale dominar a técnica.

Para revisar a base de matemática que sustenta esse tipo de problema — como porcentagem, média e regra de três — visite o nosso Guia de Matemática Básica.

Resolva agora sem fazer conta

Se quiser conferir um exercício, basta digitar os coeficientes na nossa Calculadora de Bhaskara. Ela mostra o delta, as raízes, o vértice da parábola e o gráfico — tudo em segundos.

De onde vem a fórmula de Bhaskara — a demonstração

A fórmula não caiu do céu: ela é o resultado de "completar quadrados" na equação geral. Ver a dedução ajuda a nunca mais esquecê-la.

Repare como o delta (Δ = b² − 4ac) surge naturalmente dentro da raiz. Ele é o que sobra depois de "completar o quadrado" — daí o nome discriminante: discrimina o número de raízes reais.

Relações de Girard — soma e produto das raízes

Muitas provas do ENEM podem ser resolvidas sem calcular delta, usando as chamadas relações de Girard:

Exemplo: para x² − 5x + 6 = 0, temos soma = 5 e produto = 6. Que duas raízes somam 5 e multiplicam 6? 2 e 3 — resolvido em segundos, sem delta.

Também vale o caminho inverso: se você conhece as raízes, monta a equação como x² − (soma)x + (produto) = 0. Se as raízes são 4 e −1, a equação é x² − 3x − 4 = 0.

Fatoração — a versão elegante do 2º grau

Toda equação do 2º grau com raízes reais pode ser fatorada:

Assim, x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3). E igualar a zero é dizer que um dos fatores é zero. Fatorar é muito útil para simplificar frações algébricas, resolver desigualdades e trabalhar com funções polinomiais.

Análise gráfica — a parábola

Toda equação do 2º grau y = ax² + bx + c descreve uma parábola. O comportamento do gráfico depende dos coeficientes:

Em problemas de máximo (lucro, altura de lançamento, área máxima), o yv é a resposta. Em problemas de mínimo (custo, distância mínima), também.

Equações incompletas — atalhos que caem em prova

Sem termo b (b = 0): ax² + c = 0

Sem termo c (c = 0): ax² + bx = 0

Sem termos b e c: ax² = 0

Solução única: x = 0 (raiz dupla). Aparece pouco, mas cai em pegadinhas.

Aplicações reais — quando a parábola vira a resposta

Física — queda livre e lançamento

A altura de um corpo em queda livre é descrita por h(t) = h₀ + v₀t − (g/2)t². Descobrir "em quanto tempo bate no chão" significa resolver h(t) = 0 — uma equação do 2º grau clássica.

Geometria — área

Um terreno retangular tem comprimento 3 m maior que a largura e área de 40 m². Que dimensões tem? x(x + 3) = 40 → x² + 3x − 40 = 0 → x = 5 e x = −8. Como comprimento é positivo, x = 5 → 5 m por 8 m.

Finanças — ponto de equilíbrio

Uma empresa modela o lucro por L(x) = −2x² + 40x − 100. O lucro máximo ocorre no vértice: xv = 10 unidades vendidas, gerando L = 100. Já os pontos onde o lucro zera vêm das raízes.

Esporte — arremesso

A trajetória de uma bola de basquete é uma parábola. Saber a altura máxima e o alcance envolve resolver equação do 2º grau. É a mesma matemática usada em videogames para simular projéteis.

15 exercícios comentados

Do básico ao nível ENEM. Resolva mentalmente antes de conferir a resposta.

1. x² − 7x + 12 = 0 → Girard: soma 7, produto 12 → 3 e 4.
2. x² + x − 6 = 0 → soma −1, produto −6 → 2 e −3.
3. 2x² − 8 = 0 → x² = 4 → ±2.
4. x² − 6x + 9 = 0 → Δ = 0 → x = 3 (raiz dupla).
5. x² + 4 = 0 → Δ = −16 < 0 → sem raiz real.
6. 3x² − 12x = 0 → x(3x − 12) = 0 → 0 e 4.
7. x² − 10x + 25 = 0 → x = 5 (raiz dupla, quadrado perfeito).
8. x² − x − 20 = 0 → soma 1, produto −20 → 5 e −4.
9. 2x² + 3x − 2 = 0 → Δ = 25 → x = (−3 ± 5)/4 → 1/2 e −2.
10. 5x² − 15x + 10 = 0 → dividir por 5 → x² − 3x + 2 = 0 → 1 e 2.
11. x² − 4x + 5 = 0 → Δ = −4 → raízes complexas (2 ± i).
12. Um número somado ao seu quadrado dá 12. Qual é? x² + x − 12 = 0 → 3 ou −4.
13. Área de um quadrado é 3 m² maior que o perímetro. Lado? x² = 4x + 3 → x² − 4x − 3 = 0 → x = 2 + √7 ≈ 4,65 m.
14. Uma pedra é lançada de 20 m com velocidade 10 m/s. Quando bate no solo? 20 + 10t − 5t² = 0 → t = 2 + 2√2 ≈ 4,83 s.
15. O lucro de uma loja é L(x) = −x² + 20x − 64. Para que quantidades L ≥ 0? Raízes: 4 e 16. Resposta: 4 ≤ x ≤ 16.

Para mais treino, acesse os exercícios de Bhaskara resolvidos.

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